Ensino Médio ⇒ Inequações Simultaneas e inequação Produto Tópico resolvido

[soaresv]

Pessoal, estou com uma dúvida simples... gostaria de confirmar se a resolução da seguinte inequação simultânea está correta:

[tex3]-3x +10 < x-2 \geq -5x+10[/tex3]

1.
[tex3]-3x +10 < x-2[/tex3]
[tex3]-4x +12 < 0[/tex3] [tex3]\rightarrow a<0[/tex3]
[tex3]4x -12 > 0[/tex3]
[tex3]x>3[/tex3]

2.
[tex3]x-2 \geq -5x +10[/tex3]
[tex3]6x\geq12[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]a>0[/tex3]
[tex3]x\geq2[/tex3]

S = ][tex3]3 ; +\infty[/tex3][

Confirmem pra mim por favor:

I. nas inequações simultâneas, para determinar a solução, NÃO É NECESSÁRIO o estudo do sinal das equações e sim a intersecção das inequações
II. as inequações produto podem ser resolvidas de 2 formas, sendo a primeira, realizando separadamente a resolução de cada inequação e depois, estudando o sinal de ambas para determinar a solução ou do modo mais trabalhoso, que é eliminando o parentese das inequações através da multiplicação das inequações
III. as inequações quociente SOMENTE podem ser resolvidas de uma maneira, que é resolvendo cada inequação e depois fazer o estudo do sinal das inequações para determinar a solução.

Em relação a afirmação 3, perguntei isso pois fiquei em dúvida quando vi a seguinte inequação:

[tex3]\frac{x^2 -5}{x-3} >1[/tex3]

Agora fica a minha pergunta... essa inequação não poderia ser resolvida passando o [tex3]x-3[/tex3] para multiplicar o 1, desta forma:
[tex3]x^2 -5 >1*(x-3)[/tex3]

ou somente como inequação produto mesmo?

Obrigado pela atenção de todos,
Victor Soares

[soaresv]

poxa, ninguem?

[Lucabral]

I. nas inequações simultâneas, para determinar a solução, NÃO É NECESSÁRIO o estudo do sinal das equações e sim a intersecção das inequações

Essa parte acredito que sim,uma vez que a intersecção dará a solução que satisfaz ambas as inequações presentes na inequação simultânea.

III. as inequações quociente SOMENTE podem ser resolvidas de uma maneira, que é resolvendo cada inequação e depois fazer o estudo do sinal das inequações para determinar a solução.

Em relação a afirmação 3, perguntei isso pois fiquei em dúvida quando vi a seguinte inequação:

[tex3]\frac{x^2 -5}{x-3} >1[/tex3]

Fiquei com dúvida aqui também. Nesse caso do quociente,posso fazer:
[tex3]\frac{x^2 -5}{x-3} >1 = x^2 -5 >1*(x-3)[/tex3] [tex3]\therefore x^{2}-x-2>0[/tex3] e determinar a solução dessa inequação com o auxílio das raízes de f(x)= [tex3]\ x^{2}-x-2=0[/tex3]?

[petrasMOD]

Para Inequações quocientes com variável no denominador NÃO deve ser feita a multiplicação cruzada pois estaríamos deixando algum intervalo de fora ou colocando algum intervalo a mais na solução. O correto e deixar todo os termos de um lado e o zero do outro

[tex3]\mathsf {\frac{x^2 -5}{x-3} > 1 \rightarrow \frac{x^2-5}{x-3}-1>0\rightarrow \frac{x^2-x-2}{x-3}>0\\
Resolvendo: -1 < x < 2~ou~x>3 }[/tex3]

Caso multiplicássemos cruzado teríamos:

[tex3]\mathsf {(x^2 -5)> (x-3).1 \rightarrow x^2-x-2 > 0\\
Resolvendo: x < -1~ou~x>2 }[/tex3]
Perceba que 3 aqui é uma solução, o que não pode acontecer pois na inequação original tornaria zero o denominador.

[MatheusBorgesMOD]

Se quiser multiplicar cruzado, pode sim é só considerar os casos:
[tex3]x-3>0\rightarrow x>3\\
x^{2}-5>(x-3).1\\
\cup\\
0>x-3\rightarrow -3>x\\
(x-3).1>x^{2}-5[/tex3]

[petrasMOD]

Lucabral,
Como disse na minha resolução não se deve multiplicar cruzado, o que é diferente de não se pode.
Como MAfil10 postou você poderia desde que fizesse todas as análises o que no meu modo de pensar não é muito produtivo quando se está em uma prova. Para mim, quanto mais "simples" a resolução mais elegante é a mesma e você corre menos riscos de cometer erros ou esquecer de alguma análise.

[MatheusBorgesMOD]

Grande Petras! Em nenhum momento foi minha intenção dizer que sua resolução está incorreta. Só que quando o senhor coloca não pode da a entender que é errado, simplesmente isso. Digo isso porque é algo comentado por vários professores, e eu sempre tive essa dúvida, até que encontrei aqui mesmo nó forum o mestre Junior explicando (da mesma maneira que fiz pra Lu), aquilo deu um up no meu aprendizado, por isso comentei. Na verdade me expressei errado, desculpe, abraço!

[petrasMOD]

MafIl10,
O meu comentário não foi por achar que você contestou ou não a resolução(longe disso) mas apenas para mostrar a Lucabral que o motivo de não postar a sua explicação é simplesmente por uma questão de praticidade na resolução. Não sei se percebeu mas não coloquei NÃO PODE e sim NÃO DEVE. Como também irá fazer prova de português cuidado com as interpretações. Não pode significa uma obrigação e não deve é um conselho.
É um conselho pois vejo muito erros na resolução desse tipo de inequação por fazerem a multiplicação cruzada e esquecerem de todas as condicionantes. Quando se separam os membros como mencionei é mais fácil a compreensão e a possibilidade de erro é muito pequena.
Abraço. (O senhor está no céu!rsss)

[Lucabral]

MafIl10, e petras, Muito obrigada pelo auxílio! Foi de grande valia os diferentes modos de resolver

[Lucabral]

petras, e MafIl10, Desculpa a insistência, só que tenho mais uma dúvida relacionada ao tópico. Caiu uma questão do ENEM ano passado que tinha uma inequação quociente com função exponencial assim:
[tex3]\frac{65 . 1,013^{n}}{(1,013^{n}-1)}\leq 400[/tex3]
Nesse caso,minha dúvida é : Como o denominador já é comum (representado entre parênteses) a multiplicação cruzada é permitida.
Se fosse [tex3]\frac{65 . 1,013^{n}}{1,013^{n}-1}\leq 400[/tex3] aí teria que analisar o sinal de cada uma separada e fazer a intersecção.

Estou certa?