Ensino Médio ⇒ (FME) Geometria de Posição - Paralelismo Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

Construa uma reta que se apoie em três retas r,s e t, reversas duas a duas.
Considerando os casos:

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Resposta

---

Tome um ponto P numa das retas e a solução é a interseção x dos planos determinados por P e pelas outras duas retas. No 1 caso há restrições.

Suponhamos que a reta r e o ponto P ( pertencente a t) determinem um plano alfa, sendo r, s e t reversas duas a duas:
[tex3]\alpha=(r,P)[/tex3]
Analogamente para s e P:
[tex3]\beta=(s,P)[/tex3]

A intersecção desses dois planos vai ser uma reta a que vai estar tanto contida em beta quanto em alfa, logo será paralela a r e a s. Veja que isso é um absurdo pois o livro está dizendo que a deve ser concorrente com às três!

[fortran]

Não entendi porque você afirmou que a intersecção será uma reta paralela as outras duas... A interseção dos planos da uma reta que concorre as outras três, não é este o objetivo da questão?

Ilustração:

ST.jpg (43.8 KiB) Exibido 6998 vezes

[MatheusBorgesMOD]

fortran, sabe demonstrar formalmente o 1 caso? Em relação ao objetivo da questão, não entendi muito bem, mas ele disse: "apoia às outras três". Ou seja deve encostar, concorrentes, iguais não podem ser, visto que são reversas!
Editado: Já vi que não são concorrentes.

[MatheusBorgesMOD]

Bom, consegui demonstrar agora, formalmente os dois casos da teoria, mas a demonstração dos exercícios não saiu ainda.

[fortran]

Acho que dá pra fazer o seguinte:

Sejam [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] duas retas reversas, e seja [tex3]P[/tex3] um ponto que não pertence a nenhuma delas. Mostre que existe uma única reta [tex3]u[/tex3] que passe por [tex3]P[/tex3] e corta [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3].

Solução:

[email protected] (6.2 KiB) Exibido 6951 vezes

Suponha que exista duas retas [tex3]u_{1}[/tex3] e [tex3]u_{2}[/tex3] que passam pelo ponto [tex3]P[/tex3] e cortam [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3]. Sejam [tex3]A=u_{2} \cap r[/tex3], [tex3]B=u_{2} \cap s[/tex3], [tex3]C=u_{1} \cap r[/tex3] e [tex3]D=u_{1} \cap s[/tex3].

Seja [tex3]\alpha[/tex3] o plano que contém [tex3]u_{1}[/tex3] e [tex3]u_{2}[/tex3] (isto é possível pois por hipótese [tex3]u_{1}[/tex3] e [tex3]u_{2}[/tex3] são retas distintas que concorrem em [tex3]P[/tex3]).

Tem-se que os pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] estão todos em [tex3]\alpha[/tex3]. Como [tex3]\alpha[/tex3] contém dois pontos distintos de [tex3]r[/tex3] ([tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3]), temos que [tex3]r \subset \alpha[/tex3]. Da mesma forma, como os pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] de [tex3]s[/tex3] estão em [tex3]\alpha[/tex3], [tex3]s \subset \alpha[/tex3]. Assim, existe um plano [tex3]\alpha[/tex3] que contém as retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3], o que contradiz a hipótese delas serem reversas. Assim, a reta [tex3]u[/tex3] deve ser única.

Agora, a existência de [tex3]u[/tex3] não é sempre garantida. Suponha o caso abaixo:

[email protected] (6.54 KiB) Exibido 6951 vezes

Tome uma reta [tex3]r[/tex3] paralela a um plano [tex3]\alpha[/tex3]. Em seguida, tome uma reta [tex3]s[/tex3] contida em [tex3]\alpha[/tex3] e um ponto [tex3]P \in \alpha[/tex3], tal que [tex3]P \not \in s[/tex3]. Toda reta que passa por [tex3]P[/tex3] e corta [tex3]s[/tex3], deve estar contida em [tex3]\alpha[/tex3], portanto nunca cortando [tex3]r[/tex3].

Este último resultado explica porque na sua resposta diz que o primeiro caso tem restrições. O plano formado pelo ponto e uma das retas não pode ser paralelo a outra. Na figura que você trouxe, por exemplo, não posso usar o plano definido por [tex3]r[/tex3] e o ponto [tex3]E[/tex3] e querer achar uma reta que corte [tex3]s[/tex3], pois isso não vai acontecer.

Dado a existência dessa reta [tex3]u[/tex3], ela necessariamente vai ser a intersecção dos planos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] definidos por duas das retas e um ponto pertencente a terceira.

Sejam [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] duas das retas reversas e um ponto [tex3]P \in t[/tex3] (que respeite a existência da reta [tex3]u[/tex3] a seguir). Seja a reta [tex3]u[/tex3] que passe por [tex3]P[/tex3] e corta [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3]. Logo, [tex3]P \in u[/tex3] e [tex3]u \cap r=A[/tex3] e [tex3]u \cap s=B[/tex3]. Seja [tex3]\alpha = (r,P)[/tex3] o plano definido por [tex3]r[/tex3] e [tex3]P[/tex3] e analogamente [tex3]\beta = (s,P)[/tex3]. Agora, [tex3]\alpha[/tex3] contém os pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]A[/tex3], portanto contém a reta que passa por estes dois pontos, logo [tex3]u \subset \alpha[/tex3]. Da mesma forma, [tex3]\beta[/tex3] contém [tex3]P[/tex3] e [tex3]B[/tex3], e assim [tex3]u \subset \beta[/tex3]. Se a reta [tex3]u[/tex3] está contida nos dois planos, então [tex3]\alpha \cap \beta=u[/tex3], que é uma reta que corta as três retas em questão.

Acredito que seja isso, MafIl10. Espero ter sido claro e veja se você concorda com a minha argumentação.

[MatheusBorgesMOD]

fortran, primeiramente obrigado pela resolução e paciência de explicar tudo isso. Porém não estou entendendo o por quê você garantiu que P vai estar contido em [tex3]t[/tex3] e necessariamente em [tex3]u[/tex3]. Veja o desenho:

Screenshot_2018-05-30-15-30-11.png (43.38 KiB) Exibido 6934 vezes

Não são todos os pontos P pertencentes ao espaço que estão contidos em [tex3]\overline{AB}[/tex3], ou seja é garantido que [tex3]\exists \overline{AB}[/tex3], pois dois pontos determinam uma reta, pelo postulado da determinação e não necessariamente essa reta vai ter o [tex3]P\in t [/tex3]. O que quero dizer é que você garantiu que exista a reta [tex3]u[/tex3] pelas extremidades e não por qualquer P (mesmo que r e s cumpram todas as determinações de existência que você propôs, que de fato foram excelentíssimas!) até as extermidades (A e B por exemplo, vide imagem) e isto é o mais importante por que a maior desses pontos P irão determinar a reta t que foi a sua grande sacada.
Consegue visualizar o que eu quis dizer ou entendi errado sua demonstração?
Novamente, obrigado.

[fortran]

As duas coisas mais importantes na matemática são: existência e unicidade.

Naquela imagem ali, eu tava tentando estabelecer a unicidade dessa reta [tex3]u[/tex3], e provei por contradição assumindo que existiam pelo menos duas. Naquele ponto ali, a reta [tex3]t[/tex3] ainda não estava sendo considerada. O que tinha sido enunciado é o seguinte:

Sejam [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] duas retas reversas, e seja [tex3]P[/tex3] um ponto que não pertence a nenhuma delas. Mostre que existe uma única reta [tex3]u[/tex3] que passe por [tex3]P[/tex3] e corta [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3].

Então o resultado foi que se tenho duas retas reversas e um ponto fora de ambas, só existe uma única reta que passa pelo ponto e corta essas duas retas (caso existir, é única, ela pode não existir como eu afirmei ali também).

Depois o que eu fiz foi o seguinte. Este resultado falava sobre duas retas reversas e um ponto, e nossa questão é sobre três retas reversas duas a duas. Repare que este ponto [tex3]P[/tex3] é de livre escolha, nunca foi imposto nenhuma condição nele (a não ser é claro, que não pertença as outras retas). Tendo isto em vista, sem perda de generalidade eu posso tomar um ponto [tex3]P[/tex3] tal que [tex3]P \in t[/tex3], e este ponto sobre [tex3]t[/tex3] irá atender a condição de não pertencer as outras retas pois elas são reversas entre si. Depois disso eu aplico o resultado que existe um reta [tex3]u[/tex3] que vai passar por [tex3]P[/tex3] (e portanto por [tex3]t[/tex3] também, pois tomei [tex3]P \in t[/tex3]) e que vai cortar as outras duas retas, [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3]. Cortando assim, as três retas em questão. Depois eu argumento que ela necessariamente vai ser a intersecção dos planos, como fiz ali no final.

Espero ter respondido tua dúvida.

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

Construa uma reta que se apoie em três retas r, s e t, reversas duas a duas.

Vamos começar considerando um ponto [tex3]P\in r[/tex3].

2º Caso - Existe plano paralelo às três retas

Os planos do 2º caso são [tex3]\theta[/tex3], [tex3]\lambda[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3] tais que [tex3]r\subset\theta[/tex3], [tex3]s\subset\lambda[/tex3] e [tex3]t\subset\gamma[/tex3].

Criando o plano [tex3]\alpha=(s,P)[/tex3] e [tex3]\beta=(t, P)[/tex3]. E, criando a reta [tex3]v[/tex3] na interseção dos planos [tex3]v\subset(\alpha\cap\beta)[/tex3], temos que a reta [tex3]v[/tex3] é solução para o problema.

Explicação:
1) O plano [tex3]\alpha[/tex3] não é paralelo a nenhum dos três planos [tex3]\theta[/tex3], [tex3]\lambda[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3], pois contém o ponto [tex3]P\in\theta[/tex3] e contém a reta [tex3]s\subset \lambda[/tex3].
2) Como [tex3]P\notin s[/tex3], mas [tex3]P\in\alpha[/tex3] (por construção) e [tex3]s\subset\alpha[/tex3] (por construção), então qualquer reta [tex3]x[/tex3] em [tex3]\alpha[/tex3], que passe por [tex3]P[/tex3] e [tex3]x\not\subset\theta[/tex3], será concorrente com [tex3]s[/tex3].
3) Como [tex3]P\notin t[/tex3], mas [tex3]P\in\beta[/tex3] (por construção) e [tex3]t\subset\beta[/tex3] (por construção), então qualquer reta [tex3]y[/tex3] em [tex3]\beta[/tex3] que passe por [tex3]P[/tex3] e [tex3]y\not\subset\theta[/tex3] será concorrente com [tex3]t[/tex3].
4) Como [tex3]v\subset\alpha[/tex3] (por construção) e [tex3]v\subset\beta[/tex3] (por construção), então [tex3]v[/tex3] é concorrente a [tex3]s[/tex3] (por 2), é concorrente a [tex3]t[/tex3] (por 3) e é concorrente a [tex3]r[/tex3] (por [tex3]P\in v[/tex3] e [tex3]P\in r[/tex3], por construção).

Esse desenho tenta ilustrar a composição acima.

planos_2.png (130.91 KiB) Exibido 6882 vezes

O 1º caso é análogo.

Grande abraço,
Prof. Caju

[MatheusBorgesMOD]

caju, por que tais conclusões (2 e 3)?
Como [tex3]P\notin s[/tex3] , mas [tex3]P\in\alpha[/tex3] (por construção) e [tex3]s\subset\alpha[/tex3] (por construção), então qualquer reta em [tex3]\alpha[/tex3], que passe por [tex3]P[/tex3], será concorrente com [tex3]s[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

Eu tinha definido o plano [tex3]\theta[/tex3] e não o utilizei. Era pra utilizar nesse ponto.

Editei a resolução e coloquei o que faltava.

Olha ali se mata sua dúvida.

Ah, e olhando de novo, no item 4), por conta destas adições que fiz, falta provar que [tex3]v\not\subset\theta[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju