Ensino Médio ⇒ Função do Segundo Grau - Parábola Tópico resolvido

[alineMOD]

A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

ponte.jpg (4.61 KiB) Exibido 42013 vezes

Os pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], [tex3]C[/tex3], [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é [tex3]25\ m[/tex3]. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central [tex3]CG[/tex3] é [tex3]20\ m[/tex3], a altura de [tex3]DH[/tex3] é:

a) [tex3]17,5\ m[/tex3].
b) [tex3]15,0\ m[/tex3].
c) [tex3]12,5\ m[/tex3].
d) [tex3]10,0\ m[/tex3].
e) [tex3]7,5\ m[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá Aline,

Podemos modelar a situação como sendo uma parábola com a origem do plano cartesiano em [tex3]C[/tex3]. Ou seja, teríamos a seguinte situação:

parabola.png (31.13 KiB) Exibido 35395 vezes

Veja que a parábola passa no eixo [tex3]X[/tex3] nos pontos [tex3]X=-50[/tex3] e [tex3]X=50[/tex3], pois o enunciado diz que cada pilastra está distante uma da outra [tex3]25m[/tex3], e no desenho há duas pilastras do ponto [tex3]C[/tex3] até o ponto onde a ponte toca o chão (eixo [tex3]X[/tex3]). Veja também que é dito que a altura da ponte é [tex3]20m[/tex3], por isso a parábola acima corta o eixo [tex3]Y[/tex3] no ponto [tex3]20[/tex3].

Agora o que o exercício está pedindo, nada mais é do que a coordenada [tex3]Y[/tex3] do ponto [tex3]H[/tex3]. Para isso, vamos encontrar a equação da parábola e depois descobrir.

Sabemos que nossa parábola tem as raízes [tex3]x=-50[/tex3] e [tex3]x=50[/tex3]. Portanto, podemos escrever sua equação como sendo:

[tex3]f(x)=a\cdot(x-50)\cdot(x+50)[/tex3]

Onde o coeficiente [tex3]a[/tex3] ainda será descoberto utilizando-se o ponto [tex3]G[/tex3], que sabemos ter coordenadas [tex3](0,20)[/tex3], ou seja, [tex3]f(0)=20[/tex3]. Substituindo estas coordenadas na função acima:

[tex3]f(0)=a(0-50)(0+50)=20[/tex3]

[tex3]a=-\frac{1}{125}[/tex3]

Agora, então, podemos escrever a expressão completa da função que define a ponte:

[tex3]f(x)=-\frac{1}{125}(x-50)(x+50)[/tex3]

E conseguimos encontrar a coordenada [tex3]y[/tex3] do ponto [tex3]H[/tex3]. A coordenada [tex3]x[/tex3] do ponto [tex3]H[/tex3] já sabemos, vale [tex3]x=25[/tex3]. Vamos substituir [tex3]x=25[/tex3] na expressão acima:

[tex3]f(25)=-\frac{1}{125}(25-50)(25+50)[/tex3]

[tex3]f(25)=15[/tex3]

Portanto, a alternativa correta é a letra [tex3]B[/tex3].

[jarrdeloes]

Qual formula voce usou para chegar nisso "f(x)=a.(x-50).(x+50)"?

[cajuADMIN]

Olá jarrdeloes,

Uma equação do segundo grau, que representa uma parábola, sempre pode ser escrita da forma

[tex3]f(x)=a\cdot(x-R_1)\cdot (x-R_2)[/tex3]

Onde [tex3]R_1[/tex3] e [tex3]R_2[/tex3] são as raízes e [tex3]a[/tex3] é o coeficiente do termo [tex3]x^2[/tex3].

Nesta questão eu apenas verifiquei inicialmente quais eram as raízes, e coloquei essas raízes no esqueleto acima. Após isso, encontrei qual o valor de [tex3]a[/tex3] que encaixaria.

Grande abraço,
Prof. Caju

[jarrdeloes]

Na verdade, minha professora disse que para chegar nesse resultado, eu precisaria uma outra forma bem mais complexa, e que não existiria outra forma (como a que voce citou), acabei ficando sem o que falar

[cajuADMIN]

Para chegar em que resultado? No esqueleto da equação do segundo grau?

[jarrdeloes]

Ela queria que eu explicasse todo o processo das etapas da conta;
O resultado estava certo, desde descobrir o coeficiente de a, e o resultado final;
porem não consegui detalhar o procedimento;

acabei pegando esse exercício como exemplo porque já estava pronto, e acabei me complicando,

[cajuADMIN]

Entendi. E agora, com esta última explicação, ficou claro o processo?

[jarrdeloes]

Com a formula que você passou ficou mais fácil, só gostaria de entender o porque do =20 e depois porque o x foi trocado por 25, sei que cada pilastra é 25 metros, mais gostaria de saber o porque colocar na conta, afim de dar uma explicação melhor,

Muito Obrigado pela Ajuda que estas prestando

[cajuADMIN]

Igualei a [tex3]20[/tex3] quando substituí o [tex3]x[/tex3] e o [tex3]y[/tex3] da equação da parábola pelas coordenadas do ponto [tex3]G[/tex3], que pertence à parábola, e tem coordenada [tex3]y=20[/tex3].

Depois que o coeficiente a foi encontrado, a equação da parábola está completa. Assim, podemos substituir qualquer valor de [tex3]x[/tex3] e encontrar o valor de [tex3]y[/tex3] correspondente. No caso, o ponto [tex3]H[/tex3], que tem coordenada [tex3]x=25[/tex3], não sabemos o valor de [tex3]y[/tex3] dele. Substituímos [tex3]x=25[/tex3] na equação para encontrar seu [tex3]y[/tex3] correspondente.

Grande abraço,
Prof. Caju