Ensino Médio ⇒ Soma dos quadrados Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Sejam φ, λ e C, tais que |φ| = 1; |λ| = 1; |φ - λ| = [tex3]\sqrt{2}[/tex3], determine o valor referente a soma dos quadrados de φ e λ.

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

[AnthonyC]

Podemos escrever um número complexo na forma polar como:

[tex3]z=|z|[\cos(\theta)+\sen(\theta)i][/tex3]

[tex3]φ=\cos⁡(x)+\sen⁡(x) i[/tex3]
[tex3]λ=\cos⁡(y)+\sen⁡(y)i[/tex3]

[tex3]φ-λ=[\cos⁡(x)-\cos⁡(y)]+[\sen⁡(x)-\sen⁡(y) ]i[/tex3]
Usando fórmulas de transformação de soma em produto:
[tex3]φ-λ=-2 \sen⁡\(x-y\over2\) \sen\(x+y\over2\) +2 \sen⁡\(x-y\over2\) \cos⁡\(x+y\over2\) i[/tex3]

[tex3]|φ-λ|=\sqrt{\[-2 \sen⁡\(x-y\over2\) \sen\(x+y\over2\) \]^2+\[2 \sen⁡\(x-y\over2\) \cos⁡\(x+y\over2\)\]^2 }[tex3][/tex3]
[tex3]|φ-λ|=\sqrt{4 \sen⁡^2\(x-y\over2\) \sen^2\(x+y\over2\)+4\sen^2⁡\(x-y\over2\) \cos⁡^2\(x+y\over2\)}[/tex3]
[tex3]|φ-λ|=\sqrt{4 \sen⁡^2\(x-y\over2\)\[ \sen^2\(x+y\over2\)+ \cos⁡^2\(x+y\over2\)\]}[/tex3]
[tex3]|φ-λ|=\sqrt{4 \sen⁡^2\(x-y\over2\)}[/tex3]
[tex3]|φ-λ|=2\left|\sen⁡\(x-y\over2\)\right|[/tex3]
[tex3]\sqrt2=2\left|\sen⁡\(x-y\over2\)\right|[/tex3]
[tex3]{\sqrt2\over2}=\left|\sen⁡\(x-y\over2\)\right|[/tex3]
[tex3]{\sqrt2\over2}=\sen⁡\(x-y\over2\)[/tex3] ou [tex3]-{\sqrt2\over2}=\sen⁡\(x-y\over2\)[/tex3]
Em ambos os casos, teremos:
[tex3]{x-y\over2}={(2k+1)π\over4}, ~~~~ k∈\mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]{x-y}={(2k+1)π\over2}[/tex3]

[tex3]φ^2+λ^2=\cos⁡(2x)+\sen⁡(2x)i+\cos⁡(2y)+\sen⁡(2y)i[/tex3]
[tex3]φ^2+λ^2=\cos⁡(2x)+\cos⁡(2y)+[\sen⁡(2x)+\sen⁡(2y)]i[/tex3]
Usando novamente transformação de soma em produto:
[tex3]φ^2+λ^2=2 \cos\(2x+2y\over2\) \cos⁡\(2x-2y\over2\)+2 \sen⁡\(2x+2y\over2\) \cos⁡\(2x-2y\over2\) i[/tex3]
[tex3]φ^2+λ^2=2 \cos\(x+y\) \cos⁡\(x-2\)+2 \sen⁡\(x+y\) \cos⁡\(x-y\) i[/tex3]

[tex3]\cos⁡(x-y)=\cos⁡\((2k+1)π\over2\)[/tex3]
[tex3]\cos⁡(x-y)=\cos⁡\(2kπ+π\over2\)[/tex3]
[tex3]\cos⁡(x-y)=\cos⁡\(kπ+{π\over2}\)[/tex3]
[tex3]\cos⁡(x-y)=\cos⁡(kπ) \cos⁡\(π\over2\)-\sen⁡(kπ)\sen⁡\(π\over2\)[/tex3]

[tex3]\sen(k\pi)=0[/tex3]
Dá pra provar por indução. Vou deixar pra você.

[tex3]\cos⁡(x-y)=\cos⁡(kπ)⋅0-0⋅\sen\(π\over2\)[/tex3]
[tex3]\cos⁡(x-y)=0[/tex3]
Logo:
[tex3]φ^2+λ^2=2 \cos⁡(x+y) \cos⁡(x-y)+2 \sen⁡(x+y) \cos⁡(x-y) i[/tex3]
[tex3]φ^2+λ^2=2 \cos⁡(x+y)⋅0+2 \sen⁡(x+y)⋅0\cdot i[/tex3]
[tex3]φ^2+λ^2=0[/tex3]
Opção (c)