Ensino Médio ⇒ (FB) Substituições trigonométricas Tópico resolvido

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Se [tex3]a_1=\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}[/tex3] para todo [tex3]n\geq 2 [/tex3], então um dos possíveis valores de [tex3]\theta [/tex3] para que [tex3]a_4=2cos\theta [/tex3] é igual a:

a) π/12
b) π/16
c) π/18
d) π/24
e) π/32

Resposta

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A.

O objetivo desse capítulo não é sair elevando tudo ao quadrado, pois seria totalmente inviável na prova. As questões estão saindo por substituições trigonométricas.

[undefinied3]

[tex3]a_1=\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}[/tex3]
[tex3]a_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}=2cos(\theta)[/tex3]

Na verdade o gabarito é E.

Suponha que [tex3]a_i = 2cos(\theta)[/tex3] pra algum [tex3]\theta[/tex3]. Acontece que:
[tex3]a_{i+1}=\sqrt{2+a_i}=\sqrt{2+2cos(\theta)}=\sqrt{2+2(2cos^2(\frac{\theta}{2})-1)}=\sqrt{4cos^2(\frac{\theta}{2})}=2cos(\frac{\theta}{2})[/tex3].

E de sorte acontece que [tex3]a_1=2cos(\frac{\pi}{4})[/tex3]
Segue que
[tex3]a_2=2cos(\frac{\pi}{8})[/tex3]
[tex3]a_3=2cos(\frac{\pi}{16})[/tex3]
[tex3]a_4=2cos(\frac{\pi}{32})[/tex3]