Ensino Médio ⇒ Teorema de Pitágoras Tópico resolvido

[petrasMOD]

Dando os créditos para Intelligen pauca que postou essa solução

[LostWalker]

FelipeMartin,

Bem, eu fiz um desenho, e não se trata de como eu estava tentando resolver, mas eu estava seguindo esse meio:

Tome que [tex3]\alpha=\angle BCD,~~\theta=\angle ACO,~~x=\overline{BC},~~y=\overline{AB}[/tex3], com isso, diretamente temos:

[tex3]\Delta OMB\\r^2+2=a^2+9-6a\cos(\alpha+\theta)[/tex3]

[tex3]\Delta OCD\\r^4+2=b^2+9-6b\sin(\alpha+\theta)[/tex3]

[tex3]\Delta OAC\\r^2=x^2+y^2-6\sqrt{x^2+y^2}\cos(\theta)[/tex3]


Mas como antes, isso não estava me levando a lugar nenhum, ainda mais pela quantidade de variáveis, logo, estava procurando mais relações no meio disso, talvez uso de área, etc.


O que me incomodava nesse enunciado é que se você tomar essa figura:

Circulos.png (43.41 KiB) Exibido 512 vezes

*nota: só fiz de modo a se assemelhar com a questão


Bem, nós temos varias relações aí

[tex3]\vec{\overline{OB}}-\vec{\overline{OA}}=\vec{\overline{OC}}-\vec{\overline{OD}}\\{\big|}\vec{\overline{OC}}-\vec{\overline{OA}}{\big|}={\big|}\vec{\overline{OB}}-\vec{\overline{OD}}{\big|}\\\vec{\overline{OD}}-\vec{\overline{OA}}=\vec{\overline{OC}}-\vec{\overline{OB}}[/tex3]


Além de que, tem outras como:

[tex3]\vec{\overline{AB}}+\vec{\overline{BC}}=\vec{\overline{AC}}[/tex3]

E que [tex3]\vec{\overline{AB}}[/tex3] e [tex3]\vec{\overline{AD}}[/tex3] por exemplo possuem ângulos de [tex3]90^\circ[/tex3]. Os triângulos [tex3]\Delta ABC=\Delta ACD[/tex3]


Quero dizer, parece tudo muito "engessado", preso demais uma coisa na outra, então para mim, sim, deveria (no sentido de, mano, parece) que tem uma solução; No mais, eu estava tendo dificuldade de enxergar:

Sejam então e as projeções de sobre e no retângulo

Se puder mostrar para mim, eu agradeceria. Quero terminar minhas contas de vez sobre esse exercício.

[FelipeMartinMOD]

Se puder mostrar para mim, eu agradeceria. Quero terminar minhas contas de vez sobre esse exercício.

É bem simples, eu me referia ao retângulo verde:

prova1.png (48.73 KiB) Exibido 503 vezes

[tex3]I[/tex3] e [tex3]J[/tex3] são, respectivamente, pontos médios de [tex3]AD[/tex3] e [tex3]BC[/tex3]. Repare que como [tex3]AD \parallel BC[/tex3], então [tex3]O,H,K[/tex3] são colineares pois [tex3]OH \perp AD \implies OH \perp BC \implies OH \parallel OK[/tex3], então [tex3]OH[/tex3] e [tex3]OK[/tex3] são retas paralelas que concorrem no ponto [tex3]O[/tex3], logo, são a mesma reta.

Ai fica tranquilo né? Como [tex3]HKJI[/tex3] é retângulo (verde), então [tex3]HI = KJ \iff \frac{OA^2-OD^2}{2AD} = \frac{OB^2 - OC^2}{2BC}[/tex3] e etc.

[FelipeMartinMOD]

LostWalker, no seu método você também tem 4 variáveis: a,b,r e alfa e três equações. Parece que há algum grau de liberdade nesse problema que eu não estou conseguindo captar direito.

[LostWalker]

4 variáveis: a,b,r e alfa e três equações

Na verdade, ainda tem [tex3]\theta[/tex3], mas por outro lado [tex3]\sen\alpha,\,\cos\alpha,\,\tg\alpha[/tex3] ainda poderia ser escritos em função de [tex3]a,b[/tex3], no fim, sim, 4 variáveis e 3 equações. Mas como eu disse:

Mas como antes, isso não estava me levando a lugar nenhum, ainda mais pela quantidade de variáveis, logo, estava procurando mais relações no meio disso, talvez uso de área, etc.

Esses desenhos geométricos em baixo e vetores que eu coloquei são apenas visualizações que me levavam a crer (intuitivamente) que deveria sim haver uma solução, entretanto, pelas equação e ângulos, ainda, de fato não achei. Se [tex3]\theta[/tex3] puder ser relacionado de alguma forma as outras variáveis, o problema acabaria... bem, deveria acabar, matematicamente falando.