Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica 04

[jose carlos de almeida]

São dados os pontos A(3;4), B(1;2) e P pertencente ao eixo das ordenadas tais que |AP| + |BP| é mínimo. Então o ponto P é:

Resposta

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(0;5/2)

[petrasMOD]

@jose carlos de almeida
Para minimizar a soma das distâncias |AP| + |BP|, podemos refletir um dos pontos em relação ao eixo y e, em seguida, traçar uma linha reta até o outro ponto. A intersecção dessa linha reta com o eixo y será o ponto P desejado.

Vamos refletir o ponto B(1, 2) em relação ao eixo y. O ponto refletido, que chamaremos de B', terá a coordenada x oposta, enquanto a coordenada y permanece a mesma.

B(1, 2) [tex3]\to[/tex3] B'(-1, 2)

Agora, a distância |AP| + |BP| é a mesma que a distância |AP| + |B'P|. A menor distância entre A e B' é uma linha reta. O ponto P que estamos procurando é a intersecção da linha que passa por A(3, 4) e B'(-1, 2) com o eixo y (x=0).


Vamos usar os pontos A(3, 4) e B'(-1, 2) para encontrar a equação da reta.

[tex3]m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\\
y = mx + c\\
4 = \frac{1}{2}(3) + c = \frac{3}{2} + c \implies c = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\\
\therefore y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}[/tex3]

O ponto P está no eixo das ordenadas, então sua coordenada x é zero (x=0).
[tex3]y = \frac{1}{2}(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}[/tex3]

Portanto, o ponto P é [tex3](0, \frac{5}{2}).[/tex3]