Ensino Médio ⇒ n complexo Tópico resolvido

[ric94626]

Se z=3+i /1+2i , então a forma trigonométrica de z^2

Não sei o gabarito

[ProfLaplace]

Opa, blz?
Primeiro precisamos escrever o número na forma algébrica [tex3]z=a+bi.[/tex3]
Para isso, multiplicamos em cima e embaixo pelo conjugado do denominador:
[tex3]z=\frac{3+i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{3-6i+i-2i^2}{1^2-(2i)^2}=\frac{5-5i}{5}=1-i.[/tex3]
Agora há duas opções: elevar ao quadrado e passar para a forma trigonométrica ou passar para a forma trigonométrica e depois elevar ao quadrado.
Normalmente a segunda opção é melhor.
Mas neste caso vou fazer a primeira pois é fácil elevar [tex3]z=1-i[/tex3] ao quadrado.
[tex3]z^2=(1-i)^2=1^2-2.1.i+i^2=-2i.[/tex3]
Agora passaremos para a forma trigonométrica.
[tex3]|z^2|=|-2i|=\sqrt{(-2)^2}=2.[/tex3]
Seja [tex3]\theta[/tex3] o argumento de [tex3]z^2=0-2i.[/tex3]
Temos as seguintes relações:
[tex3]\cos{\theta}=\frac{0}{2}=0[/tex3]
[tex3]\sin{\theta}=\frac{-2}{2}=-1[/tex3]
Na primeira volta, o ângulo que tem esse seno e cosseno é [tex3]\frac{3\pi}{2}.[/tex3]
Por fim,
[tex3]z^2=2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)[/tex3]
Letra E.

[ric94626]

nao entendi a parte do final, de elevar a forma trigonométrica ao quadrado, a parte do sen/cos tbm n era pra ta ao quadrado
E p e z nao sao a mesma coisa?

[ProfLaplace]

Oi. Eu não elevei ao quadrado ali no final. Eu simplesmente já tinha o módulo e o argumento de [tex3]z^2[/tex3] e apenas montei.

Sobre a outra pergunta: normalmente usamos a letra [tex3]\rho[/tex3] (lê-se como "rô") como módulo de z.
Ou seja, a convenção usual é de que [tex3]\rho[/tex3] é o módulo de z, e não o próprio z em si.

[ProfLaplace]

Um bom exercício é vc tentar fazer pelo outro caminho que citei.

[ALANSILVA]

@ric94626 só ver a Primeira fórmula De Moivre