Ensino Médio ⇒ Triângulo Retângulo e semicírculo Tópico resolvido

[DuduBQ27]

Na figura, O é centro da semicircunferência, A e L são pontos de tangencia e D é ponto médio de AB. A razão AB/BC é:

Resposta

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Gabarito: d)

[DuduBQ27]

@DuduBQ27

Seja R o raio da semicircunferência. Então OA = OL = OD = R.Como A e L são pontos de tangência, o raio é perpendicular às retas tangentes: [tex3]OA \perp AC : OL \perp BM[/tex3].
D é o ponto médio de AB. Como D está na semicircunferência e O é o centro, a distância AD = 2R e DB = 2R.Logo, o comprimento total de AB é 4R
[tex3]\mathtt{
LH \perp AB(H \in AB)\\
cos \angle LOB = \frac{LO}{OB} = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3} = \frac{OH}{LO} = \frac{OH}{R} \implies OH = \frac{R}{3}\\
\therefore DH = OD -OH = R - \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}\\
\triangle OHL: HL^2 = OL^2-OH^2 = R^2 - (\frac{R}{3})^2 = \frac{8R^2}{9}\implies HL = \frac{2R\sqrt2}{3}\\
\triangle ADC \sim \triangle HDL: \frac{AD}{DH} = \frac{AC}{HL}\\
\frac{2R}{\frac{2R}{3}}=\frac{AC}{\frac{2R\sqrt2}{3}} \implies AC = 2R\sqrt2 \\
BC^2 = AB^2+AC^2 = (4R)^2+(2R\sqrt2)^2 = 16R^2+8R^2 = 24R^2 \\
BC = R\sqrt{24} = 2R\sqrt6\\
\therefore \frac{AB}{BC} = \frac{4R}{2R\sqrt6} = \frac{2}{\sqrt6} = \frac{2\sqrt6}{6} = \boxed{\frac{\sqrt6}{3}_{//}}}
[/tex3].

[DuduBQ27]

Muito obrigado Petras!