Ensino Médio ⇒ Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Se [tex3]z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z_{4}[/tex3] são as raízes, no conjunto dos números complexos, da equação [tex3]z^{4} – 1 = 0[/tex3], então, o valor da expressão [tex3](z_{1})^{3} + (z_{2})^{3} + (z_{3})^{3} + (z_{4})^{3}[/tex3] é igual a

A) [tex3]1[/tex3].
B) [tex3]i[/tex3].
C) [tex3]1 + i[/tex3].
D) [tex3]0[/tex3].

Resposta

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gabarito alternativa D)

[ProfLaplace]

Uma alternativa é usar a Fórmula de De Moivre para achar as raízes quartas de [tex3]1[/tex3].
Porém, neste caso específico dá pra fazer por fatoração também (diferença de quadrados).
Vou optar por fazer por fatoração.
Basicamente iremos resolver a equação dada no enunciado.
Lembre-se também que [tex3]i^2=-1[/tex3] ou, equivalentemente, [tex3]-i^2=1.[/tex3]
[tex3]z^4-1=0 \Rightarrow (z^2)^2-1^2=0 \Rightarrow (z^2-1)(z^2+1)=0 \Rightarrow [/tex3]
[tex3] (z^2-1^2)(z^2-i^2)=0 \Rightarrow (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0.[/tex3]
Obs: na penúltima passagem utilizei o truque de substituir [tex3]1[/tex3] por [tex3]-i^2.[/tex3]
O produto será zero se um dos fatores for zero.
Daqui segue naturalmente as 4 soluções da equação:
[tex3]\begin{cases}
z_1=1\\
z_2=-1\\
z_3=i\\
z_4=-i
\end{cases}[/tex3]
Para terminar,
[tex3](z_1)^3 + (z_2)^3 + (z_3)^3 + (z_4)^3=1^3+(-1)^3+i^3+(-i)^3=1-1-i+i=0.[/tex3]
Letra D.