Ensino Médio ⇒ Probabilidade Tópico resolvido

[moondancer28]

Uma pessoa precisa, em uma partida de jogo, retirar duas bolas sem reposição, ambas de mesma cor, de urnas que contêm 8 bolas de cores variadas, devendo selecionar de qual urna as bolas serão retiradas.

Bolas brancas Bolas azuis Bolas pretas

Caixa 1 (5) (2) (1)

Caixa 2 (3) (3) (2)

Caixa 3 (2) (2) (4)

Caixa 4 (4) (3) (1)

Caixa 5 (4) (4) (0)

Qual caixa deve ser escolhida para garantir maior probabilidade de ganhar a partida?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Sem gabarito

[petrasMOD]

Como em todas as caixas o total de bolas é n = 8, a probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor de uma quantidade k$ de bolas é dada por:[tex3]P(\text{mesma cor}) = \frac{k}{8} \cdot \frac{k-1}{7}[/tex3]
Cálculos das Probabilidades
Caixa 1: (5 Brancas, 2 Azuis, 1 Preta)Brancas: [tex3]\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 7} = \frac{20}{56}Azuis: $\frac{2 \cdot 1}{8 \cdot 7} = \frac{2}{56}Pretas: \frac{1 \cdot 0}{8 \cdot 7} = 0\\Total: \frac{20+2}{56} = \mathbf{\frac{22}{56}}[/tex3]

Caixa 2: (3 Brancas, 3 Azuis, 2 Pretas)Brancas: [tex3]\frac{3 \cdot 2}{56} = \frac{6}{56}Azuis: \frac{3 \cdot 2}{56} = \frac{6}{56}Pretas: \frac{2 \cdot 1}{56} = \frac{2}{56}\\Total: \frac{6+6+2}{56} = \mathbf{\frac{14}{56}}
[/tex3]

Caixa 3: ([tex3]2 Brancas, 2 Azuis, 4 Pretas)Brancas: \frac{2 \cdot 1}{56} = \frac{2}{56}Azuis: \frac{2 \cdot 1}{56} = \frac{2}{56}Pretas: \frac{4 \cdot 3}{56} = \frac{12}{56}\\
Total: \frac{2+2+12}{56} = \mathbf{\frac{16}{56}}
[/tex3]

Caixa 4: (4 Brancas, 3 Azuis, 1 Preta)Brancas: [tex3]\frac{4 \cdot 3}{56} = \frac{12}{56}Azuis: \frac{3 \cdot 2}{56} = \frac{6}{56}Pretas: 0\\Total: \frac{12+6}{56} = \mathbf{\frac{18}{56}}[/tex3]

Caixa 5: (4 Brancas, 4 Azuis, 0 Pretas)Brancas: [tex3]\frac{4 \cdot 3}{56} = \frac{12}{56}Azuis: \frac{4 \cdot 3}{56} = \frac{12}{56}\\Total: \frac{12+12}{56} = \mathbf{\frac{24}{56}}[/tex3]

Comparando os numeradores (já que os denominadores são todos 56):
Caixa 1: 22 Caixa 2: 14 Caixa 3: 16 Caixa 4: 18 Caixa 5: 24
A Caixa 5 oferece a maior probabilidade de vitória[tex3] (\frac{24}{56}).[/tex3]