Ensino Médio ⇒ Geometria plana Tópico resolvido

[nosbier]

Na figura, as medidas dos arcos AB, BC, CD e DA são proporcionais a 2, 3, 4 e 6, respectivamente. Determine as medidas dos ângulos internos do quadrilátero ABCD e a medida do menor ângulo formado por suas diagonais AC e BD.

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Respostas
60º, 84º, 120º, 96º e o menor ângulo 72º

[petrasMOD]

@nosbier,

As medidas dos arcos AB, BC, CD e DA são proporcionais a 2, 3, 4 e 6.
Seja k a constante de proporcionalidade:[tex3]m(AB) = 2k; m(BC) = 3k; m(CD) = 4k; m(DA) = 6k\\
2k + 3k + 4k + 6k = 360 \implies 15k = 360 \implies k = 24\\
\therefore m(AB) = 48°;m(BC) = 72°;m(CD) = 96°; m(DA) = 144°.[/tex3]

Cada ângulo interno do quadrilátero inscrito é um ângulo inscrito, cuja medida é metade do arco que ele subentende[tex3]\hat{A} = \frac{m(BCD)}{2} = \frac{72 + 96}{2} = \frac{168}{2} = \mathbf{84°}\\
\hat{B} = \frac{m(CDA)}{2} = \frac{96 + 144}{2} = \frac{240}{2} = \mathbf{120°}\\
\hat{C} = \frac{m(DAB)}{2} = \frac{144 + 48}{2} = \frac{192}{2} = \mathbf{96°}\\
\hat{D} = \frac{m(ABC)}{2} = \frac{48 + 72}{2} = \frac{120}{2} = \mathbf{60°}\\
Verificação: 84 + 120 + 96 + 60 = 360°[/tex3].

O ângulo formado pelo cruzamento de duas cordas (ângulo excêntrico interior) é dado pela média aritmética dos arcos que ele e seu oposto pelo vértice determinam.Seja [tex3]\theta[/tex3] o ângulo que intercepta os arcos AB e CD:
[tex3]\theta = \frac{m(AB) + m(CD)}{2} = \frac{48 + 96}{2} = \frac{144}{2} = \boxed{\mathbf{72°}}[/tex3]O ângulo adjacente a este seria:180° - 72° = 108°

[edu_landim]

Outros caminhos ...

(1) Como o quadrilátero está inscrito na circunferência, temos que os ângulos internos opostos são suplementares. Deste modo, poderíamos calcular a medida de dois deles, por exemplo [tex3]\hat{A}\, e\, \hat{B}[/tex3], como feito na resolução acima e usar a propriedade descrita anteriormente para obter a medida dos outros dois.

(2) Além disso poderíamos calcular as medidas dos ângulos formados entre uma diagonal e um lado, através da relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida do arco subtendido por ele, perceber que ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco tem mesma medida. Com isso, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero seria obtida pela soma de ângulos determinados inicialmente e a medida do menor ângulo formado pelas diagonais seria obtido usando a soma dos ângulos internos de um triângulo escolhido dentre os que são formados ao traçar as diagonais.

Ao descobrir e percorrer um caminho, lembre-se de olhar a paisagem ao redor para perceber outros caminhos!