Ensino Médio ⇒ Inequação do primeiro grau Tópico resolvido

[debzz13]

[tex3]\frac{2}{3x-1}[/tex3] [tex3]\geq[/tex3] [tex3]\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: [tex3]] -1;\,0 ] \cup \left] \frac{1}{3};\,1\right [ \cup [ 3;\,+ \infty [ [/tex3]

[debzz13]

@debzz13,
[tex3]\frac{2(x-1)(x+1) - 1(3x-1)(x+1) + 1(3x-1)(x-1)}{(3x-1)(x-1)(x+1)} \geq 0[/tex3]
[tex3](3x-1)(x-1)(x+1) (2x^2 - 2) + (-3x^2 - 2x + 1) + (3x^2 - 4x + 1) = 2x^2 - 6x[/tex3]
A inequação simplificada é:[tex3]\frac{2x^2 - 6x}{(3x-1)(x-1)(x+1)} \geq 0 \implies \frac{2x(x - 3)}{(3x-1)(x-1)(x+1)} \geq 0 [/tex3]

Quadro de Sinais (Varal)

Numerador:
[tex3]2x:~~~~--- --[0]+++++++(I)\\
(x-3):----------[3]++(II)\\
(I).(II):+++++[0]----[3]+++(A)
[/tex3]
Denominador:
[tex3]
3x-1: ---------(1/3)+++++++(III)\\
(x-1):--------------(1)+++(IV)\\
(x+1):-----(-1)+++++++++(V)\\
(II).(IV).V:---(-1)++(1/3)---(1)++(B)
[/tex3]

[tex3]\frac{A}{B}:---(-1)+++[0]---(1/3)+++(1)---[3]+++ [/tex3]

Buscamos os intervalos onde o resultado é positivo ou zero:
Entre -1 e 0: ]-1, 0] (-1 aberto, 0 fechado).
Entre 1/3 e 1: ]1/3, 1[ (ambos abertos devido ao denominador).
A partir de 3: [3, [tex3]+\infty[/tex3][ (3 fechado).
Solução Final: =[tex3] ]-1; 0] \cup ]1/3; 1[ \cup [3; +\infty)[/tex3]