Ensino Médio ⇒ Cônicas Tópico resolvido

[ARTHUR36]

Determine a equação da hipérbole que tem as seguintes propriedades:

1) seu centro é a origem;
2) um de seus focos é [tex3]F_{1}(0,-2);[/tex3]
3) um de seus pontos é [tex3]P\(1,\sqrt{3}\)[/tex3]

Gostaria de ajuda com a resolução.

[petrasMOD]

@ARTHUR36,

O centro é a origem (0,0).
O foco dado é F1(0, -2). Como o foco está no eixo y (abscissa zero), a hipérbole tem eixo real vertical.
A distância do centro ao foco é c. Portanto, c = 2.
A equação reduzida para uma hipérbole com eixo real vertical e centro na origem é:[tex3]\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1[/tex3]
Relação Fundamental:[tex3] c^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 = 2^2 \implies b^2 = 4 - a^2[/tex3]
Substituindo Ponto [tex3]P(1, \sqrt{3})[/tex3]
[tex3]\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2} - \frac{1^2}{b^2} = 1 \implies \frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 1[/tex3]
Substituindo b²: [tex3]\frac{3}{a^2} - \frac{1}{4 - a^2} = 1[/tex3] [tex3]3(4 - a^2) - 1(a^2) = a^2(4 - a^2) \implies12 - 3a^2 - a^2 = 4a^2 - a^4\\12 - 4a^2 = 4a^2 - a^4 \implies a^4 - 8a^2 + 12 = 0[/tex3]
Resolvendo: [tex3]a=\pm\sqrt 2 \implies a^2 \therefore b= 4-a^2 = \mathbf{2}[/tex3].
Substituindo os valores de a² e b² na fórmula:[tex3]\boxed{\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1}[/tex3]