Ensino Médio ⇒ Pirâmide - Área lateral - Volume Tópico resolvido

[ismaelmat]

67.498-A área lateral de uma pirâmide hexagonal regular e a medida de cada aresta da base são 432cm² e 12cm, respectivamente. Calcule o volume dessa pirâmide.

Gabarito:

Resposta

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72 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm³

[petrasMOD]

@ismaelmat,
Gabarito errado.

A área de um hexágono regular é composta por 6 triângulos equiláteros:[tex3]A_b = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \cdot 12^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 144\sqrt{3}}{2} = 216\sqrt{3} \text{ cm}^2[/tex3].
Apótema da Pirâmide (g)
A área lateral [tex3](A_l[/tex3]) é a soma das áreas das 6 faces laterais (triângulos isósceles).
[tex3]A_l = 6 \cdot \frac{a \cdot g}{2} \implies 432 = 3 \cdot 12 \cdot g \implies432 = 36g \implies g = \frac{432}{36} = 12 [/tex3]
Altura da Pirâmide (h): Para achar a altura, utilizamos o triângulo retângulo formado pela altura (h), o apótema da base (m) e o apótema da pirâmide (g).
O apótema da base de um hexágono é a altura do seu triângulo equilátero interno:
[tex3]m = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\\
g^2 = h^2 + m^2:12^2 = h^2 + (6\sqrt{3})^2 \implies 144 = h^2 + 108\\
h^2 = 36 \implies h = 6\\
V = \frac{1}{3}\cdot A_b \cdot h=\frac{1}{3} \cdot (216\sqrt{3}) \cdot 6 = 216\sqrt{3} \cdot 2\\
\therefore \boxed{V = 432\sqrt{3} \text{ cm}^3}[/tex3]