Ensino Médio ⇒ Geometria espacial Tópico resolvido

[Jose16miojo]

Tomam-se dois vértices opostos de um cubo e pelos pontos médios das três arestas que não passam por esses vértices traça-se um plano secante que divide o cubo em dois sólidos e em cada um desses sólidos inscrevemos uma esfera da do que essas esferas se tangenciam Três Faces do cubo e o plano secante determine a relação entre o volume de cada esfera e o volume do cubo.

Alguém poderia me ajudar, acho que entendi mais ou menos o que a questão quer mas não tô chegando ao resultado que é :

Resposta

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[2(3+√3)^3]/9π

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Se puder auxiliar dando uma explicação de como devo resolver já é o suficiente, mas se puder mostrar como se responde agradeço (desculpe-me mas não sei postar imagem pra mostrar como desenhei)

[Jose16miojo]

@Jose16miojo,

o enunciado correto é: ...Tomam-se dois vértices opostos de um cubo e pelos pontos médios das seis arestas...
O gabarito está invertido, fez a relação entre o cubo e a esfera

Seja o cubo com um vértice na origem (0,0,0) e o vértice oposto em (a,a,a). As 6 arestas que não passam por esses dois vértices têm os seguintes pontos médios:[tex3]M_1 = (a, \frac{a}{2}, 0)\\
M_2 = (a, 0, \frac{a}{2})\\M_3 = (\frac{a}{2}, a, 0)\\M_4 = (0, a, \frac{a}{2})\\
M_5 = (0, \frac{a}{2}, a)\\
M_6 = (\frac{a}{2}, 0, a)[/tex3]2.
Vamos somar as componentes (x + y + z) de cada ponto:
[tex3]M_1: a + \frac{a}{2} + 0 = \frac{3a}{2};M_2: a + 0 + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2};M_3: \frac{a}{2} + a + 0 = \frac{3a}{2}...[/tex3]. e assim por diante para todos os 6 pontos.Como todos os pontos satisfazem a mesma condição linear x + y + z = \text{constante}, eles são coplanares. A equação desse plano é, portanto:[tex3]x + y + z = \frac{3a}{2}[/tex3]

Para uma esfera de raio r tangenciar as três faces do cubo que se encontram na origem (planos x=0, y=0, z=0), seu centro deve ser:C = (r, r, r)
A condição do enunciado é que esta esfera também tangencie o plano secante. Portanto, a distância do centro C(r,r,r) ao plano [tex3]x + y + z - \frac{3a}{2} = 0[/tex3] deve ser igual a r
Usando a fórmula da distância de ponto a plano:[tex3]\frac{|r + r + r - \frac{3a}{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = r \implies\frac{|3r - \frac{3a}{2}|}{\sqrt{3}} = r[/tex3]
Como a esfera está entre a origem e o plano, temos [tex3]3r < \frac{3a}{2} \therefore \frac{3a}{2} - 3r = r\sqrt{3}\\\frac{3a}{2} = r(3 + \sqrt{3}) \implies r = \frac{3a}{2(3 + \sqrt{3})}[/tex3].
O volume do cubo é [tex3] V_c = a^3[/tex3].O volume da esfera é[tex3] V_e = \frac{4}{3}\pi r^3.[/tex3]
Substituindo o valor de r encontrado:[tex3]V_e = \frac{4\pi}{3} \left[ \frac{3a}{2(3 + \sqrt{3})} \right]^3= \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{27a^3}{8(3 + \sqrt{3})^3}\\V_e = \frac{9\pi a^3}{2(3 + \sqrt{3})^3}[/tex3]
A relação solicitada entre o volume de cada esfera ([tex3]V_e[/tex3]) e o volume do cubo ([tex3]V_c[/tex3]) é:[tex3]\boxed{\frac{V_e}{V_c} = \frac{9\pi}{2(3 + \sqrt{3})^3}}[/tex3]

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