Ensino Médio ⇒ Binômio de Newton Tópico resolvido

[Yuri]

Alguém poderia explicar desde o conceito inicial a resolução. Grato.

No desenvolvimento de [tex3]\left(x+\frac {2}{3x}\right)^8,[/tex3] o termo independente de [tex3]x[/tex3] vale:

a) [tex3]\frac{160}{81}[/tex3]
b) [tex3]\frac{112}{81}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1120}{81}[/tex3]
d) [tex3]\frac{70}{81}[/tex3]
e) [tex3]\frac{112}{9}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Yuri,

Este tipo de questão é bem comum em vestibulares, é uma aplicação direta da fórmula do binômio de Newton, que, para [tex3](a+b)^n[/tex3] é:

[tex3]T_{p+1}= C_{n}^{p} \cdot b^p \cdot a^{n-p}[/tex3]

Que, no seu exercício [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=\frac{2}{3} \cdot x^{-1}[/tex3] e n=8. Substituindo esses valores na fórmula.

[tex3]T_{p+1}= C_{8}^{p} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot x^{-1}\right)^p \cdot x^{(8-p)}[/tex3]

Como queremos saber quando que o termo será independente de x, ou seja, terá x elevado a ZERO, nos interessamos só pelos expoentes de x, podemos, por enquanto, ignorar os outros coeficientes. Os expoentes de x são:

[tex3]x^{(-p)} \cdot x^{8-p}[/tex3]

[tex3]x^{(-p+8-p)}[/tex3]

[tex3]x^{(8-2p)}[/tex3]

Agora vemos que este expoente será ZERO somente quando [tex3]p=4[/tex3].

Se fosse pedido apenas a ordem do termo independente, já poderíamos dizer, é o QUINTO (atenção, sempre calculamos o termo [tex3]T_{p+1}[/tex3]

Colocando p=4 na fórmula do binômio de Newton:

[tex3]T_{5}= C_{8}^{4} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot x^{-1}\right)^4 \cdot x^{(8-4)}[/tex3]

[tex3]T_5=\frac{1120}{81}[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[Yuri]

Obrigado Profº pela explicação e resolução.

Cordialmente

Yuri