Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Cosseno de 36° Tópico resolvido

[Wesley]

Calcule o valor exato de [tex3]\cos 36^\circ .[/tex3]

[Fernando Jaeger]

Você deve ter tido dificuldade com essa questão por, acredito eu, não saber qual é a medida do lado de um decágono regular inscrito em uma circunferência de raio [tex3]R.[/tex3] Alguns livros de ensino médio apresentam essa dedução. Vamos a ela:

Sendo [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] dois vértices consecutivos de um decágono regular, desenhe o triângulo [tex3]ABO,[/tex3] sendo [tex3]O[/tex3] o centro do decágono e da circunferência circunscrita a ele. Sendo assim, [tex3]OA = OB = R[/tex3] e o angulo [tex3]A\hat{O}B[/tex3] vale [tex3]\frac{360}{10} = 36^\circ .[/tex3] Consequentemente, [tex3]O\hat{A}B = A\hat{B}O = 72^\circ .[/tex3]

Trace a bissetriz do ângulo [tex3]A\hat{B}O,[/tex3] sendo [tex3]C[/tex3] o ponto de intersecção desta com o lado oposto a [tex3]B[/tex3] (poderia, em vez disso, traçar a bissetriz [tex3]B\hat{A}O,[/tex3] o procedimento a seguir seria o mesmo).

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] é isósceles, sendo [tex3]BC = AB = \ell,[/tex3] sendo [tex3]\ell[/tex3] o lado do decágono.

O triângulo [tex3]BCO[/tex3] tambem é isoceles, sendo [tex3]BC = CO = \ell[/tex3]

Logo, [tex3]CO = \ell[/tex3] e [tex3]AC = R - \ell[/tex3]

Pelo teorema da bissetriz interna, obtemos:

• [tex3]\frac{\ell}{R} = \frac{R-\ell}{\ell}[/tex3]

Resolvendo a equação, e desprezando a solução negativa, temos que

• [tex3]\ell = \frac{(\sqrt{5}-1)R}{2}[/tex3]

Agora é só aplicar a lei dos cossenos no triângulo [tex3]ABO[/tex3] que voce encontrará o valor exato do cosseno de [tex3]36^\circ .[/tex3]

Se houver dúvidas, fique à vontade para perguntar.

Abraço.

[Wesley]

Entendi sim!
Obrigado.