Ensino Médio ⇒ Geometria Plana

[mlcosta]

Na figura abaixo, PT é tangente ao círculo. Calcule a medida aproximada do segmento TA.

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Obs: Figura fora de escala.

[petrasMOD]

@mlcosta,
Na figura, o ângulo [tex3]\angle PTA [/tex3] é um ângulo de segmento que intercepta o arco AT. O ângulo inscrito [tex3]\angle TBP[/tex3] intercepta o mesmo arco. Portanto, [tex3]\angle PTA \cong \angle TBP[/tex3].
Como o ângulo em P é comum aos triângulos [tex3]$\triangle PAT[/tex3] e [tex3]\triangle PTB[/tex3], temos que:[tex3]\triangle PAT \sim \triangle PTB[/tex3]
Portanto:[tex3]\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} = \frac{TA}{BT}[/tex3].
Pela relação de potência do ponto P em relação à circunferência[tex3] PT^2 = PA \cdot PB \implies4^2 = PA \cdot (PA + 8)\\16 = PA^2 + 8PA \implies PA^2 + 8PA - 16 = 0[/tex3]
Resolvendo(considerando apenas o valor positivo):[tex3]PA = -4 + 4\sqrt{2}[/tex3]
Agora, [tex3]\frac{PA}{PT} = \frac{TA}{BT} \implies\frac{\cancel{-4}+\cancel{4}\sqrt2}{\cancel{4}} = \frac{TA}{6}\\
TA = 6\sqrt2-6 \approx \boxed{2,49_{//}}[/tex3]