Ensino Médio ⇒ Conjuntos Numéricos: Múltiplos e Divisores Tópico resolvido

[edu_vrb]

Prove que o número [tex3]8^n - 3^n - 6^n + 1[/tex3] é sempre múltiplo [tex3]10.[/tex3]

[mawapa]

Para um número ser divisível por [tex3]10[/tex3] o algarismo das unidades tem de ser igual a [tex3]0.[/tex3]

E em algumas potências os algarismos das unidades se repetem.
Aqui tem uma explicação do prof. Caju sobre isso.

Algarismo das unidades

São os últimos algarismos das potências.

• [tex3]8^n \rightarrow (8, 4, 2, 6, \ldots )[/tex3]
  [tex3]6^n \rightarrow ( 6, \ldots)[/tex3]
  [tex3]3^n \rightarrow ( 3, 9, 7, 1)[/tex3]

Agora para descobrir se esse número é divisível por [tex3]10[/tex3] basta somar os últimos algarismos, se eles forem divisíveis por [tex3]10,[/tex3] o número inteiro também será.

Quando [tex3]n[/tex3] for [tex3]1[/tex3] [tex3][8 -6 - 3 + 1 = 0][/tex3] é divisível por [tex3]10[/tex3]
Quando [tex3]n[/tex3] for [tex3]2[/tex3] [tex3][4 - 6 - 9 + 1 = 10][/tex3] é divisível por [tex3]10[/tex3]
Quando [tex3]n[/tex3] for [tex3]3[/tex3] [tex3][2 -6 - 7 + 1 = 10][/tex3] é divisível por [tex3]10[/tex3]
Quando [tex3]n[/tex3] for [tex3]4[/tex3] [tex3][6 - 6 -1 + 1 = 0][/tex3] é divisível por [tex3]10[/tex3]
...

Daí pra frente os algarismo se repetem então esse número sempre é divisível por [tex3]10.[/tex3]