Ensino Médio ⇒ Equação Cúbica

[Angelita]

Da a equação cúbica 2 [tex3]x^{3}[/tex3]-3x+5=0 de raízes a, b e c, determine o valor de S=[tex3]\frac{a-1}{a^{2}-a+1} + \frac{b-1}{b^{2}-b+1} + \frac{c-1}{c^{2}-c+1}[/tex3].
a)0
b)2
c)1
d)[tex3]\frac{4}{3}[/tex3]
e)[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Resposta

---

b

[petrasMOD]

@Angelita,

Pelas relações de Girard, temos:
[tex3]a + b + c =-\frac{b}{a} = 0[/tex3] (coeficiente de x² é zero)
[tex3]ab + ac + bc = -\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]abc = -\frac{5}{2}[/tex3]
Cada termo da soma S tem a forma [tex3]\frac{x-1}{x^2-x+1}.[/tex3]
Multiplicando o numerador e o denominador por (x+1), utilizamos a identidade do produto notável da soma de dois cubos: [tex3](x+1)(x^2-x+1) = x^3+1[/tex3].
Portanto:[tex3]\frac{x-1}{x^2-x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-1}{x^3+1} [/tex3]
Como a, b, c são raízes da equação, podemos isolar o termo de terceiro grau:
[tex3]2x^3 = 3x - 5 \implies x^3 = \frac{3x-5}{2}\\
\frac{x^2-1}{x^3+1} = \frac{x^2-1}{\frac{3x-5}{2} + 1} = \frac{x^2-1}{\frac{3x-5+2}{2}} = \frac{2(x^2-1)}{3x-3} = \frac{2(x-1)(x+1)}{3(x-1)}\ = \frac{2(x+1)}{3}[/tex3]
Cancelando (x-1) (visto que 1 não é raiz da equação original, pois [tex3]2(1)^3 - 3(1) + 5 = 4 \neq 0)[/tex3]:
Agora, aplicamos essa forma simplificada para as três raízes:
[tex3]S = \frac{2(a+1)}{3} + \frac{2(b+1)}{3} + \frac{2(c+1)}{3}\\S = \frac{2}{3} (a+1+b+1+c+1) = \frac{2}{3} (a+b+c+3)\\
a+b+c = 0 \implies S = \frac{2}{3} (0 + 3) = \frac{2}{3} \cdot 3 = \boxed{2_{//}}[/tex3]