Ensino Médio ⇒ "Racionalização e radical duplo" Tópico resolvido

[MedeirosU]

O valor de [tex3]\frac{\sqrt{\sqrt[4]{125} +\sqrt{\sqrt{5}-1}}- \sqrt{\sqrt[4]{125}- \sqrt{\sqrt{5}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{2.000}- \sqrt{\sqrt{1.280}+4}}}[/tex3] é:

(A) [tex3]1[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
(C) [tex3]2[/tex3]
(D) [tex3]2 \sqrt{2}[/tex3]
(E) [tex3]3 \sqrt{2}[/tex3]

Resposta

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(A)

[petrasMOD]

@MedeirosU,
O numerador tem a forma[tex3] \sqrt{A+B} - \sqrt{A-B},[/tex3] onde:
[tex3]A = \sqrt[4]{125} = (5^3)^{1/4} = 5^{3/4}\\
B = \sqrt{\sqrt{5}-1}[/tex3]
Elevando o numerador ao quadrado para simplificá-lo:[tex3]N^2 = (\sqrt{A+B} - \sqrt{A-B})^2 = (A+B) + (A-B) - 2\sqrt{(A+B)(A-B)}\\N^2 = 2A - 2\sqrt{A^2 - B^2}[/tex3]
Calculamos agora [tex3]A^2 - B^2:A^2 = (5^{3/4})^2 = 5^{3/2} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\\B^2 = (\sqrt{\sqrt{5}-1})^2 = \sqrt{5}-1\\A^2 - B^2 = 5\sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1) = 4\sqrt{5} + 1[/tex3]
Assim, o quadrado do numerador é:[tex3]N^2 = 2\sqrt[4]{125} - 2\sqrt{4\sqrt{5} + 1}[/tex3]

O denominador é dado por:[tex3]D = \sqrt{\sqrt[4]{2.000}- \sqrt{\sqrt{1.280}+4}}[/tex3]
[tex3]\sqrt[4]{2.000} = \sqrt[4]{16 \cdot 125} = 2 \cdot \sqrt[4]{125}\\\sqrt{1.280} = \sqrt{256 \cdot 5} = 16\sqrt{5}[/tex3]
Substituindo no termo interno do denominador:[tex3]\sqrt{16\sqrt{5} + 4} = \sqrt{4(4\sqrt{5} + 1)} = 2\sqrt{4\sqrt{5} + 1}[/tex3]
Agora, elevando o denominador ao quadrado [tex3]D^2 = 2\sqrt[4]{125} - 2\sqrt{4\sqrt{5} + 1}[/tex3]

Observamos que o quadrado do numerador ([tex3]N^2[/tex3]) é exatamente igual ao quadrado do denominador [tex3](D^2):\\
N^2 = 2\sqrt[4]{125} - 2\sqrt{4\sqrt{5} + 1}\\D^2 = 2\sqrt[4]{125} - 2\sqrt{4\sqrt{5} + 1}[/tex3]
Como ambos os termos são positivos, concluímos que N = D.
Portanto, o valor da expressão original é:[tex3]\boxed{\frac{N}{D} = 1}[/tex3]