Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[eliz2016]

Boa noite , alguém me ajude por favor.

Use as figuras 30a e 30b para deduzir as formulas.

A) sen(a+b)=sen a . cos b+ sen b.cos a

B)sen(a-b)=sen a.cos b-sen b.cos a

[petrasMOD]

@eliz2016,

A) Na Figura 30a, temos dois triângulos retângulos unidos pela base comum de valor 1. O ângulo total no vértice da esquerda é (a + b).
No triângulo de cima (ângulo a): [tex3]\tan(a) = \frac{\text{cateto oposto}}{1} \therefore \text{cateto oposto} = \tan(a)[/tex3].
No triângulo de baixo (ângulo b): [tex3]tan(b) = \frac{\text{oposto}}{1}[/tex3]
portanto o cateto vertical inferior mede tan(b).
A hipotenusa do triângulo de cima é [tex3]sec(a) = \frac{1}{\cos(a)}[/tex3].
A hipotenusa do triângulo de baixo é [tex3]\sec(b) = \frac{1}{\cos(b)}[/tex3].
A área do triângulo grande formado pelos dois triângulos menores pode ser calculada de duas formas:
Pela base e altura: [tex3]\text{Área} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{1 \cdot (\tan a + \tan b)}{2}[/tex3]
Pela fórmula do seno: [tex3]\text{Área} = \frac{\text{lado}_1 \cdot \text{lado}_2 \cdot \sen(\text{ângulo})}{2} = \frac{\sec a \cdot \sec b \cdot \sen(a+b)}{2}[/tex3]

Igualando as áreas:[tex3]\frac{\tan a + \tan b}{2} = \frac{\frac{1}{\cos a} \cdot \frac{1}{\cos b} \cdot \sen(a+b)}{2}\\\tan a + \tan b = \frac{\sen(a+b)}{\cos a \cdot \cos b}\\\frac{\sen a}{\cos a} + \frac{\sen b}{\cos b} = \frac{\sen(a+b)}{\cos a \cdot \cos b}[/tex3]
[tex3]\frac{\sen a \cdot \cos b + \sen b \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos b} = \frac{\sen(a+b)}{\cos a \cdot \cos b}\\\\
\therefore \boxed{\sen(a+b) = \sen a \cdot \cos b + \sen b \cdot \cos a}[/tex3]c.q.d

B) Na Figura 30b, o ângulo (a - b) é a diferença entre o ângulo maior a e o menor b.
O cateto vertical total (do ângulo a) mede tan(a).
O cateto vertical do triângulo menor (do ângulo b) mede tan(b).
O segmento vertical que sobra entre eles mede tan(a) - tan(b).
Usamos a área do triângulo cujo ângulo interno é (a - b).
Lados desse triângulo: sec(a) e sec(b).
Área pela base e altura:[tex3]\frac{1 \cdot (\tan a - \tan b)}{2}[/tex3]$.
Área pelo seno:[tex3] \frac{\sec a \cdot \sec b \cdot \sen(a-b)}{2}[/tex3].
Seguindo a mesma álgebra da parte A, mas com o sinal de menos:
[tex3]tan a - tan b = \frac{\sen(a-b)}{\cos a \cdot \cos b}\\\boxed{sen(a-b) = \sen a \cdot \cos b - \sen b \cdot \cos a}[/tex3]
c.q.d.