Ensino Fundamental ⇒ Morgado - Geometria I - segmentos do triangulo - Dúvida Tópico resolvido

[asilva]

Olá, eu travei na parte onde o livro descreve a seguinte igualdade:
CD=CM=AN=AF'=p-b

Eu entendo que CM "cai" na faixa desenhada p-b, também vi que p-b vem de z, e também entendi a seguinte igualdade:
CE=CP=BF=BN=p-a

Visualmente faz sentido. Mas não entendo o que garante essa igualdade:
CD=CM=AN=AF'=p-b

Alguma dica?

[ArquiBaude]

Esse é um mapa clássico de como o semiperímetro ( p ) se distribui pelos pontos de tangência do incírculo e excírculos.

Para garantir essa igualdade, o segredo é observar as tangentes a partir de um mesmo ponto, e para essa igualdade em específico, convém olhar para o ponto A, e em seguida para o ponto C. Como você entendeu a igualdade CE=CP=BF=BN=p-a então não será difícil prosseguir.

A dica é: Note que AD = AD' e que também CD = CM e BM = BD', o que podemos concluir de AD + AD' ? A partir daqui fica fácil de ver que CD = p-b.

Faça a mesma análise para o ponto C: CF = CF', o que sabemos de CF+CF'?

Com essas dicas você mata a charada desses semiperímetros.

[asilva]

Obrigado pela resposta @ArquiBaude !

Refinando um pouco mais minha pergunta, em duas partes:
1)

Consigo entender que pela congruência dos segmentos tangentes, traçados de um ponto exterior:
CD=CM
AN=AF'

Mas estou perdido no detalhe que faz a ligação entre os dois: CM = AN (qual teorema garante essa igualdade?)
___
2)
Da figura que tem somente o triangulo, por z, fica claro que BR=BS=z=p-b

Parece que existe uma forte relação entre o centro do círculo inscrito, e o centro do círculo ex-inscrito oposto a A (Ia), se for o caso, entendendo essa relação, consigo entender o motivo de CM=p-b

[ArquiBaude]

O teorema que garante a igualdade é justamente o mesmo.

Olhe para o ponto A:
AD = AD', pela mesma razão da congruência das tangentes; e com efeito AD+AD' = 2p, uma vez que CD = CM e BM = BD'.

Daí concluimos: AD = p, ou seja, AC + CD = p, o que nos dá que CD = p-b

Agora, olhe para o ponto C:
CF=CF'; CF+CF'=2p, pois AF'=AN e BN = BF (nessa figura nem B nem F estão explícitos, mas dá para inferir suas localizações )
Disso temos: CF' = p, ou seja, CA + AF' = p, e por fim AF' = p-b.


-------

2) Que forte relação seria essa entre os circulos que daria o CM = p-b?

[asilva]

Daí concluimos: AD = p

Consegui ver, obrigado pela resposta. O pior é que revisando, achei essas relações em minhas anotações do dia 13/11, mas no dia que fiz a pergunta não consegui ligar as coisas

Valeu!