Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

Se [tex3]K[/tex3] é uma constante e uma das raízes da equação [tex3]2x^2-5x+k= 0[/tex3], calcule a outra raiz.

Resposta

---

[tex3]\frac{5}{2} , \frac{1}{2}[/tex3]

* Minha resolução:
Soma das raízes: [tex3]X_1 + X_2= -\frac{(-5)}{2}\rightarrow X_1 + K= \frac{5}{2}\rightarrow X_1= \frac{5}{2}-k[/tex3].

Produto das raízes: [tex3]X_1\cdot X_2= \frac{K}{2}\rightarrow X_1\cdot K= \frac{K}{2}\rightarrow X_1= \frac{1}{2}[/tex3].

Porém, eu não estou chegando a [tex3]\frac{5}{2}[/tex3], somente a [tex3]\frac{5}{2}-K[/tex3].

[ProfLaplace]

Vc pulou um detalhe.
[tex3]x_1 k=\frac{k}{2}[/tex3] não implica diretamente que [tex3]x_1=\frac{1}{2}.[/tex3]
Você só poderia "cortar o k" caso ele fosse diferente de zero.
Ou seja, vc assumiu indevidamente que k não era zero.

É preciso analisar essa equação assim:
[tex3]x_1 k=\frac{k}{2} \Rightarrow 2x_1k=k \Rightarrow 2x_1k-k=0 \Rightarrow k(2x_1-1)=0.[/tex3]
Como o produto resulta em zero, um dos fatores precisa ser zero.
Logo temos [tex3]k=0[/tex3] ou [tex3]2x_1-1=0.[/tex3]
Ou seja, [tex3]k=0[/tex3] ou [tex3]x_1=\frac{1}{2}.[/tex3]

Caso tenhamos [tex3]k=0,[/tex3] teremos [tex3]x_1=\frac{5}{2}[/tex3] por meio da equação de cima.
Caso tenhamos [tex3]x_1=\frac{1}{2},[/tex3] teremos [tex3]k=2[/tex3] por meio da equação de cima.

Logo há duas respostas possíveis para o problema.
[tex3]x_1=\frac{1}{2}[/tex3] ou [tex3]x_1=\frac{5}{2}.[/tex3]

[cajuADMIN]

Outra maneira de encontrar o valor do [tex3]k[/tex3] é: sabendo que [tex3]k[/tex3] é raiz, podemos substituir [tex3]x=k[/tex3] na equação igualada a zero:

[tex3]2(k)^2-5(k)+k= 0[/tex3]

[tex3]2k^2-4k= 0[/tex3]

[tex3]k(2k-4)= 0\Rightarrow\boxed{k=0\text{ ou }k=2}[/tex3]

Agora, colocando cada um desses valores de [tex3]k[/tex3] na resposta que você encontrou ([tex3]\frac52-k[/tex3]) você encontra o gabarito.

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Vc pulou um detalhe.
[tex3]x_1 k=\frac{k}{2}[/tex3] não implica diretamente que [tex3]x_1=\frac{1}{2}.[/tex3]
Você só poderia "cortar o k" caso ele fosse diferente de zero.
Ou seja, vc assumiu indevidamente que k não era zero.

É preciso analisar essa equação assim:
[tex3]x_1 k=\frac{k}{2} \Rightarrow 2x_1k=k \Rightarrow 2x_1k-k=0 \Rightarrow k(2x_1-1)=0.[/tex3]
Como o produto resulta em zero, um dos fatores precisa ser zero.
Logo temos [tex3]k=0[/tex3] ou [tex3]2x_1-1=0.[/tex3]
Ou seja, [tex3]k=0[/tex3] ou [tex3]x_1=\frac{1}{2}.[/tex3]

Caso tenhamos [tex3]k=0,[/tex3] teremos [tex3]x_1=\frac{5}{2}[/tex3] por meio da equação de cima.
Caso tenhamos [tex3]x_1=\frac{1}{2},[/tex3] teremos [tex3]k=2[/tex3] por meio da equação de cima.

Logo há duas respostas possíveis para o problema.
[tex3]x_1=\frac{1}{2}[/tex3] ou [tex3]x_1=\frac{5}{2}.[/tex3]

Muitíssimo obrigada pela resolução, mas eu fiquei um pouco confusa em uma parte. Eu compreendo perfeitamente que, se K(2x₁ -1)= 0, então um dos fatores precisa ser zero, ou seja, K= 0 ou (2x₁-1)= 0, porém eu não estou entendendo como que K pode ser igual a zero. Substituindo:

* Se (2x₁-1)= 0[tex3]\rightarrow [/tex3] 2x₁= 1[tex3]\rightarrow [/tex3] x₁= [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].
* Se K= 0[tex3]\rightarrow [/tex3] K(2x₁ -1)= 0[tex3]\rightarrow [/tex3] 0(2x₁-1)= 0[tex3]\rightarrow [/tex3] 0= 0???

Por favor, poderia me explicar essa parte?

[ProfLaplace]

Oi.
Se [tex3]k=0,[/tex3] vc chega em [tex3]0=0[/tex3] mesmo, o que indica que esse [tex3]k=0[/tex3] realmente funciona, já que os dois lados da equação estão batendo.
Porém, se vc quiser descobrir o [tex3]x_1[/tex3] nesse caso, vc precisa substituir [tex3]k=0[/tex3] na primeira equação, e não na segunda.
Na segunda vc apenas obtém [tex3]0=0,[/tex3] que é algo verdadeiro, porém que não te fornece o valor de [tex3]x_1[/tex3] que vc busca.