Ensino Fundamental ⇒ Função quadrática TQM verde Tópico resolvido

[vithorneves]

Boa tarde, não entendi o raciocínio para resolver essa questão, alguém poderia explicar?

CM) Em uma partida de beisebol, o lançador encontra-se entre o rebatedor e um muro de proteção de 4m de altura. Feito o lançamento, o rebatedor acerta a bola, que passa sobre a cabeça do lançador, onde atinge a altura máxima de 10m, em relação ao ponto da rebatida. Sabendo que o lançador está a 20m do rebatedor e a 16m do muro e que a bola descreve uma trajetória parabólica, pode-se afirmar que a bola (em relação a rebatida):

a) passará por cima do muro
b) atingirá o muro a 3,6m de altura
c) atingirá o muro a 3,4 m de altura
d) atingirá o muro a 3,0m de altura
e) atingirá o muro exatamente no seu topo

Gabarito:

Resposta

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Letra B

[vitorclemente]

Opa! De início pensei em como levar em conta a altura da rebatida, mas o problema quer que consideremos o muro e a rebatida no mesmo referencial de altura. Ou seja, o muro sempre terá [tex3]4\ m[/tex3] a mais que a rebatida.

Como é dito que a bola faz um movimento parabólico, é conveniente que achemos a equação da parábola. Sugiro que faça rascunhos do plano cartesiano, mesmo que simplificados, sem os personagens. Eu coloquei o lançador na origem [tex3]O(0, 0)[/tex3].

Veja o esquema abaixo que montei:

Podemos encontrar a equação da parábola pela fórmula fatorada da equação quadrática, usando para achar o coeficiente angular [tex3]a[/tex3] e posteriormente a equação.

[tex3]y = a(x - x_1)(x - x_2)[/tex3]
Onde [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] são as raízes da equação, ou seja, onde toca eixo das abscissas. No caso que arbitrei, as raízes são [tex3]20[/tex3] e [tex3]-20[/tex3]. Isso é sabido porque o vértice da parábola está em cima do lançador, que está a [tex3]20\ m[/tex3] do rebatedor, logo, pela simetria parabólica, as raízes são [tex3]20[/tex3] e [tex3]-20[/tex3].

Para o vértice:
[tex3]10 = a(0 - 20)(0 + 20)[/tex3]
[tex3]a = -\frac{10}{20×20}[/tex3]
[tex3]a = -\frac{1}{40}[/tex3]

Agora podemos encontrar a equação da parábola usando a mesma forma fatorada:

[tex3]y(altura) = -\frac{1}{40}(x - 20)(x + 20)[/tex3]
Resolvendo, temos:
[tex3]y(altura) = -\frac{x^2}{40} + 10[/tex3]

Achando a altura [tex3]y[/tex3] da bola na abscissa do muro, [tex3]x = -16[/tex3]:

[tex3]y = -\frac{(-16)^2}{40} + 10[/tex3]
[tex3]y = -\frac{64}{10} + 10[/tex3]
[tex3]y = -6,4 + 10 = \boxed{3,6}[/tex3]

Logo, a altura que a bola está ao passar em [tex3]x = -16[/tex3] é [tex3]y = 3,6[/tex3], menor que a altura do muro de [tex3]4\ m[/tex3], portanto, atingirá o muro a [tex3]3,6\ m[/tex3].

Poderíamos achar o coeficiente angular [tex3]a[/tex3] também pela relação [tex3]x_1 × x_2 = \frac{c}{a}[/tex3] (produto das raízes) e sabendo que [tex3]c[/tex3] é onde toca o eixo [tex3]y[/tex3]:
[tex3](-20)×20 = \frac{10}{a}[/tex3]
[tex3]a = -\frac{1}{40}[/tex3]

[tex3]\boxed{Alternativa\ B}[/tex3]

Bons estudos!

[vithorneves]

@vitorclemente Entendi, muito obrigado!