Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

Quais são as raízes reais da equação [tex3]x^2+18x+30= 2\sqrt{x^2+18x+45}[/tex3] ?

Resposta

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[tex3]x=-9\pm \sqrt{61}[/tex3]

[GiovanaMSPMOD]

Condição de existência: [tex3]\mathrm{x^2+18x+45\geq 0\ \leftrightarrow\ x\leq -15\ \vee\ x\geq -3}[/tex3].

Seja [tex3]\mathrm{y=x^2+18x+30}[/tex3]. Assim:

[tex3]\mathrm{x^2+18x+30=2\sqrt{x^2+18x+30+15}\ \leftrightarrow\ y=2\sqrt{y+15}}[/tex3]

Sendo [tex3]\mathrm{y\geq 0\ \cap\ y\geq -15\to y\geq 0}[/tex3], temos: [tex3]\mathrm{y^2-4y-60=0\ \therefore\ \cancel{y=-6}\ \vee\ y=10}[/tex3].

Deste modo, temos: [tex3]\mathrm{y=x^2+18x+30=10\ \leftrightarrow\ x^2+18x+20=0\ \therefore\ x=-9\pm \sqrt{61}}[/tex3].

Caso tenha dificuldades em estimar o valor da raiz de 61 para verificar se as soluções estão compatíveis com a condição de existência da equação, podemos usar o método da sequência recorrente ensinado no livro do Rufino volume 0.

Observe que o menor inteiro maior que a raiz de 61 é a₀ = 8. Assim, temos:

[tex3]\mathrm{a_1=\frac{1}{2}\cdot\left(a_0+\frac{n}{a_0}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(8+\frac{61}{8}\right)\approx 7,81}[/tex3]

[tex3]\mathrm{a_2=\frac{1}{2}\cdot\left(a_1+\frac{n}{a_1}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(7,81+\frac{61}{7,81}\right)\approx 7,81}[/tex3]

Como a segunda iteração é praticamente o mesmo valor da primeira, concluímos que a aproximação [tex3]\mathrm{\sqrt{61}\approx 7,81}[/tex3] já está boa e podemos parar por aqui. As raízes aproximadas, portanto, são dadas por [tex3]\mathrm{x\approx -16,81<-15\ \vee\ x\approx -1,19> -3}[/tex3].

Se houver dúvidas é só falar.