Ensino Fundamental ⇒ Radiciação Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Considere a expressão formada por [tex3]x[/tex3] radicais de índice [tex3]x[/tex3], dispostos conforme a imagem a seguir:

[tex3]\sqrt[x]{x^{x^{2}}\cdot \sqrt[x]{x^{x^{3}}\cdot \sqrt[x]{x^{x^{4}}...}}}[/tex3]

Sabendo que essa expressão é igual a [tex3]8^{64}[/tex3], determine o valor de [tex3]x[/tex3].

Resposta

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8

[ProfLaplace]

Abra na multiplicação de várias raízes.
Lembre-se da seguinte propriedade: [tex3]\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}.[/tex3]

[tex3]\sqrt[x]{x^{x^2}}.\sqrt[x^2]{x^{x^3}}.\sqrt[x^3]{x^{x^4}}...\sqrt[x^x]{x^{x^{x+1}}}[/tex3] (produto com x fatores)
Agora usa a seguinte propriedade: [tex3]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}.[/tex3]
Vc vai obter o seguinte:
[tex3]x^{\frac{x^2}{x}}.x^{\frac{x^3}{x^2}}.x^{\frac{x^4}{x^3}}...x^{\frac{x^{x+1}}{x^x}}[/tex3] (produto com x fatores)
[tex3]=x^x.x^x.x^x...x^x[/tex3] (produto de x fatores).

Agora é só usar a definição de potência: [tex3]a.a.a....a=a^n[/tex3] (produto com n fatores).
Assim nossa expreesão vai virar [tex3](x^x)^x=x^{(x^2)}[/tex3]
É dito que isto vale [tex3]8^{64}:[/tex3]
[tex3]x^{(x^2)}=8^{64}=8^{(8^2)}[/tex3]

Comparando os dois lados, da para ver que o número natural [tex3]x=8[/tex3] resolve a equação.

Obs: oficialmente, esse raciocínio não prova que [tex3]x=8[/tex3] seja a ÚNICA solução natural.
Provamos que [tex3]x=8[/tex3] é solução, mas não provamos que é a única natural.
Porém provar isso estaria fora do escopo da questão, acredito.

[FISMAQUIM]

@ProfLaplace, muito obrigado