Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[juniorcesar]

Dado um ângulo reto AOB e uma reta r exterior ao ângulo que passa por o, considere as bissetrizes OX,OY e OZ, respectivamente, de AÔB e dos ângulos que OA e OB formam com r.Sabendo que o ângulo que OA forma com r é o dobro do ângulo que OB forma com r,calcule XÔY e XÔZ.

Resposta

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XÔY=75 e XÔZ=60

[juniorcesar]

@juniorcesar,
Seja [tex3]\beta[/tex3] o ângulo que OB forma com a reta r ([tex3]\text{ângulo} ~B\hat{O}L[/tex3]).O ângulo que OA forma com a reta r ([tex3]\text{ângulo} ~A\hat{O}C[/tex3]) é o dobro, ou seja, [tex3]2\beta[/tex3].
[tex3]2\beta + 90^\circ + \beta = 180^\circ\\3\beta = 90^\circ \implies \beta = 30^\circ[/tex3]
Portanto:[tex3]\text{Ângulo entre OB e r} = 30^\circ\\\text{Ângulo entre OA e r} = 60^\circ[/tex3].
OX$ é a bissetriz de [tex3]A\hat{O}B = 90^\circ[/tex3] em dois ângulos de [tex3]45^\circ.[/tex3]
OY é a bissetriz do ângulo entre OA e r ([tex3]60^\circ[/tex3]): divide-o em dois ângulos de [tex3]30^\circ[/tex3].
OZ é a bissetriz do ângulo entre OB e r ([tex3]30^\circ)[/tex3]: divide-o em dois ângulos de [tex3]15^\circ[/tex3].

O ângulo [tex3]X\hat{O}Y[/tex3] é formado pela metade de [tex3]A\hat{O}B[/tex3] mais a metade do ângulo entre OA e r: [tex3]m(X\hat{O}Y) = 45^\circ + 30^\circ = \boxed{75^\circ_{//}}[/tex3]
O ângulo [tex3]X\hat{O}Z [/tex3]é formado pela outra metade de [tex3]A\hat{O}B[/tex3] mais a metade do ângulo entre OB e r: [tex3]m(X\hat{O}Z) = 45^\circ + 15^\circ = \boxed{60^\circ_{//}}[/tex3]