Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana

[Rhuan]

Em um triângulo [tex3]ABC[/tex3] traça-se a ceviana interior [tex3]BM[/tex3] de modo que [tex3]AM = BC[/tex3]. Além disso [tex3]ACB = 2\cdot MBC[/tex3]. Calcule a medida do ângulo [tex3]MBC[/tex3] sabendo que [tex3]Â = 2\cdot ACB[/tex3]

Resposta

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Gaba: 10°

[Rhuan]

@Rhuan,

N[tex3]\triangle ABC:x = \angle MBC\\\angle ACB = 2x\\
\angle BAC = 4x\\
\angle ABC = 180^\circ - 6x\\
\angle ABM = 180^\circ - 7x\\
AM = BC[/tex3].
Lei dos Senos
[tex3]\triangle ABM:\frac{AM}{\sen(180^\circ - 7x)} = \frac{AB}{\sen(3x)} \implies AM = \frac{AB \cdot \sen(7x)}{\sen(3x)} \quad \text{(I)}[/tex3]
[tex3]\angle AMB = 3x [/tex3] por ser ângulo externo ao [tex3]\triangle MBC[/tex3]
[tex3]\triangle ABC:\frac{BC}{\sen(4x)} = \frac{AB}{\sen(2x)} \implies BC = \frac{AB \cdot \sen(4x)}{\sen(2x)} \quad \text{(II)}[/tex3]
AM = BC: (I)=(II)[tex3]:\frac{\sen(7x)}{\sen(3x)} = \frac{\sen(4x)}{\sen(2x)}\\
\sen(4x) = 2\sen(2x)\cos(2x): \implies\frac{\sen(7x)}{\sen(3x)} = \frac{2\sen(2x)\cos(2x)}{\sen(2x)}\\\sen(7x) = 2\cos(2x)\sen(3x)[/tex3]
Usando a identidade [tex3]2\sen A \cos B = \sen(A+B) + \sen(A-B):\\\sen(7x) = \sen(3x + 2x) + \sen(3x - 2x)\\\sen(7x) = \sen(5x) + \sen(x)\\\sen(7x) - \sen(5x) = \sen(x)[/tex3]

[tex3]\(\sen p - \sen q = 2\sen\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}\):\\2\sen\left(\frac{7x-5x}{2}\right)\cos\left(\frac{7x+5x}{2}\right) = \sen(x)\\2\sen(x)\cos(6x) = \sen(x)\\
2\cos(6x) = 1 \implies \cos(6x) = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]6x = 60^\circ \therefore \mathbf{\boxed{x = 10^\circ}}[/tex3]

[geobson]

Uma solução por construção geométrica……….