Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[Angelita]

Calcular a longitude da altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo, sabendo-se que o produto das longitudes entre a hipotenusa e a distância dos pés da dita altura aos catetos é 343.
a)8
b)6
c)9
d)5
e)7

[petrasMOD]

@Angelita,

Hipotenusa: a
Altura relativa à hipotenusa: h
Projeções dos catetos: m e n
Sejam x(HD) e y(HE) as distâncias do pé da altura aos catetos. Essas distâncias são as projeções da altura sobre os catetos
Logo, [tex3]\triangle HDB \sim \triangle ABC[/tex3]:
[tex3]\frac{x}{AC} = \frac{BH}{BC}[/tex3] Como BH é a projeção m do cateto c sobre a hipotenusa [tex3](BH = \frac{c^2}{a}), ~e~ AC = b, BC = a:x = \frac{b \cdot m}{a} = \frac{b \cdot (c^2/a)}{a} = \frac{b \cdot c^2}{a^2}[/tex3]
De forma análoga, para o outro lado [tex3](HE):y = \frac{c \cdot n}{a} = \frac{c \cdot (b^2/a)}{a} = \frac{c \cdot b^2}{a^2}[/tex3]
[tex3]a \cdot (x \cdot y) = 343 \implies a \cdot \left( \frac{b \cdot c^2}{a^2} \cdot \frac{c \cdot b^2}{a^2} \right) = 343\\a \cdot \frac{b^3 \cdot c^3}{a^4} = 343 \implies \frac{(b \cdot c)^3}{a^3} = 343[/tex3]
Sabendo que [tex3]b \cdot c = a \cdot h:\frac{(a \cdot h)^3}{a^3} = 343 \implies \frac{a^3 \cdot h^3}{a^3} = 343\\h^3 = 343 \implies \boxed{h = 7_{//}}[/tex3]