Ensino Fundamental ⇒ E47) Produtos Notáveis. Tópico resolvido

[IasminSS]

Calcule 1² - 2² +3² - 4² + ... - 1998² + 1999².
(A)1.000.000 (B)1.789.000 (C)1.899.000 (D)1.989.000 (E)1.999.000

Gabarito: (E)

[petrasMOD]

@IasminSS

Podemos agrupar os termos em pares da seguinte forma:

[tex3](1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + (1997^2 - 1998^2) + 1999^2[/tex3]

Aplicamos a diferença de quadrados ([tex3]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))[/tex3] para cada par:

[tex3] 1^2 - 2^2 = (1-2)(1+2) = (-1)(3) = -3\\
3^2 - 4^2 = (3-4)(3+4) = (-1)(7) = -7\\
5^2 - 6^2 = (5-6)(5+6) = (-1)(11) = -11\\
...\\
1997^2 - 1998^2 = (1997-1998)(1997+1998) = (-1)(3995) = -3995[/tex3]

A série de termos entre parênteses se torna:
[tex3]-3 - 7 - 11 - \dots - 3995
[/tex3]
Esta é uma progressão aritmética com primeiro termo a₁ = -3 e razão d = -4 (já que -7 - (-3) = -4)


O último termo par foi [tex3]1998^2[/tex3]. O número de termos na sequência original de [tex3]1^2 a 1998^2 ~é ~1998.[/tex3] Como estamos formando pares, o número de pares é 1998 / 2 = 999.
Portanto, há 999 termos na progressão aritmética [tex3](-3, -7, \dots, -3995)[/tex3].

A soma de uma progressão aritmética é [tex3]S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)[/tex3].
[tex3]S_{999} = \frac{999}{2}(-3 + (-3995))=-1997001[/tex3]

Agora, precisamos adicionar o último termo que ficou fora do agrupamento em pares: [tex3]1999^2[/tex3]
[tex3]1999^2 = 3996001[/tex3].

A soma total é a soma da progressão aritmética mais o último termo:
T[tex3] = S_{999} + 1999^2 = −1997001+3996001=\boxed{1999000}[/tex3]