Concursos Públicos ⇒ 59 polinômio Tópico resolvido

[Analisesousp]

Seja um polinômio P(x), que dá resto 1 quando dividido por x-1, e dá resto -1 quando dividido por x+1. Qual o resto quando se divide P(x) por x²-1?

A) x-1
B) -1
C) 1
D) -x
E) x

Não sei o gabarito
Adaptado de FGV 2024

[petrasMOD]

Analisesousp,
O polinômio P(x) dá resto 1 quando dividido por x - 1. Isso significa que:
\[
P(1) = 1
\]
O polinômio P(x) dá resto -1 quando dividido por x + 1 . Isso significa que:
\[
P(-1) = -1
\]

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).

Dividir P(x) por x^2 - 1 teremos
\[
P(x) = (x^2 - 1)Q(x) + R(x)
\]
onde R(x) é o resto da divisão e deve ser um polinômio de grau menor que o divisor, ou seja, grau menor que 2. Portanto
\[
R(x) = ax + b
\]

P(1) = 1 e P(-1) = -1 . Substituímos isso na equação P(x) = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b.

- Quando x = 1:
\[
P(1) = a(1) + b = 1
\]
Portanto:
\[
a + b = 1 \quad (1)
\]

- Quando x = -1:
\[
P(-1) = a(-1) + b = -1
\]
Portanto:
\[
-a + b = -1 \quad (2)
\]

Resolvendo sistema:
1. a + b = 1
2. -a + b = -1

Somando as duas equações, obtemos:
\[
(a + b) + (-a + b) = 1 + (-1)
\]
b = 0
a = 1


O resto da divisão de P(x) por ( x^2 - 1) é:
\[
R(x) = ax + b = 1x + 0 = x
\]

Portanto, o resto é x