Concursos Públicos ⇒ 46 progressões Tópico resolvido

[Analisesousp]

A P.A. (a_n) tem 15 termos. A progressão (b_n) tem 11 termos, sendo o termo geral b_n= a_n+2a_n+4. A razão de (a_n) é r, assim, (b_n)

A) tem razão 2 e é P.G.
B) tem razão 2r e é P.G.
C) tem razão 2r e é P.A.
D) tem razão 3r e é P.A.
E) nem é P.G. nem P.A.

Não sei o gabarito
Adaptado de FGV 2024

[petrasMOD]

Analisesousp,

Temos duas progressões,a_n e b_n, e a relação entre elas é dada por:

[tex3]\[
b_n = a_n + 2a_n + 4 = 3a_n + 4
\][/tex3]

A sequência a_n é uma Progressão Aritmética (P.A.) com razão r, ou seja:

[tex3]\[
a_{n+1} = a_n + r
\][/tex3]

Encontrando a razão de b_n

Vamos calcular a diferença entre dois termos consecutivos de b_n:

[tex3]\[
b_{n+1} = 3a_{n+1} + 4
\]
[/tex3]
Substituindo [tex3]\( a_{n+1} = a_n + r \) [/tex3]na equação acima:

[tex3]\[
b_{n+1} = 3(a_n + r) + 4 = 3a_n + 3r + 4
\][/tex3]

calculando a diferença [tex3]\( b_{n+1} - b_n \)[/tex3]:

[tex3]\[
b_{n+1} - b_n = (3a_n + 3r + 4) - (3a_n + 4) = 3r
\][/tex3]

A sequência b_n tem razão 3r e, como a diferença entre termos consecutivos é constante, b_n é uma P.A.