Concursos Públicos ⇒ (CESPE-SEDUC CE 2009) Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Um ornitólogo concluiu, a partir de suas pesquisas, que a altura máxima que os indivíduos de determinada espécie de pássaros conseguem atingir durante o voo é, em km, igual à metade do quadrado da maior distância entre dois números complexos que satisfazem à equação [tex3]z^{3}[/tex3] = 8i. Nessa situação, a altura máxima atingida por indivíduos dessa espécie é

A) inferior a 2,5 km.
B) superior a 2,5 km e inferior a 5 km.
C) superior a 5 km e inferior a 7,5 km.
D) superior a 7,5 km.

Resposta

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Alternativa correta é a C

[cicero444]

@cicero444,

[tex3]z^3 = 8i\\
z^3 - 8i = 0\\
z^3 + (2i)^3 = 0\\
(z+2i)(z^2 -2zi -4)\\
z = -2i , z' = \sqrt3 + i ~ou~ z' = -\sqrt3 + i[/tex3]
Se pegarmos z = -2i (ponto A = (0, -2)) e z' =[tex3] \sqrt{3}[/tex3] + i (ponto B = ([tex3]\sqrt{3}[/tex3], 1)):
[tex3]d_{AB} = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}[/tex3]
Como a altura H é a metade do quadrado da distância:
[tex3]h = \frac{d^2}{2} , h = \frac{(2\sqrt{3})^2}{2} = 6 km [/tex3]
, letra c