Concursos Públicos ⇒ (UECE-Seduc 2018) função Tópico resolvido

[cicero444]

Considerando as funções reais de variável real são: [tex3]f(x) = x + \frac{1}{x}[/tex3] e [tex3]g(x) = \frac{x-3}{x-2}[/tex3]

▶ Os domínios e os conjuntos imagem (ou conjunto de valores) destas funções são identificados por: [tex3]Dom(f),\, Im(f),\, Dom(g)[/tex3] e [tex3]Im(g)[/tex3] respectivamente.
▶ [tex3]\mathbb{R}[/tex3] representa o conjunto dos números reais.

Sendo [tex3]f : \mathbb{R} – \{0\} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3], podemos afirmar corretamente que a imagem de [tex3]f[/tex3] é o conjunto

A) [tex3](-\infty, -2]\cup [2, +\infty)[/tex3].
B) [tex3](-\infty, -1) \cup (1, +\infty)[/tex3].
C) [tex3](-\infty, 0) \cup (0, +\infty)[/tex3].
D) [tex3](-\infty, -2) \cup (1, +\infty)[/tex3].


gabarito alternativa correta e a A.

[cicero444]

@cicero444,
[tex3]y = x + \frac{1}{x} \implies xy = x^2 + 1 \therefore x^2 - yx + 1 = 0[/tex3]
Para que existam valores reais de x que satisfaçam essa equação, o discriminante ([tex3]\Delta[/tex3]) desta equação do segundo grau em relação a x deve ser maior ou igual a zero:
[tex3]\Delta = b^2 - 4ac \implies \Delta = (-y)^2 - 4(1)(1)\therefore \Delta = y^2 - 4[/tex3]
Para que [tex3] x \in \mathbb{R},[/tex3] devemos ter[tex3] \Delta \geq 0:y^2 - 4 \geq \implies y^2 \geq 4[/tex3]
[tex3]y \geq 2 \quad \text{ou} \quad y \leq -2[/tex3]

Resposta Correta:A) (-∞, -2] ∪ [2, +∞).