Concursos Públicos ⇒ (UECE-Seduc 2018) Função Tópico resolvido

[cicero444]

Considerando as funções reais de variável real são: [tex3]f(x) = x + \frac{1}{x}[/tex3] e [tex3]g(x) = \frac{x-3}{x-2}[/tex3].

▶ Os domínios e os conjuntos imagem (ou conjunto de valores) destas funções são identificados por: [tex3]Dom(f),\, Im(f),\, Dom(g)[/tex3] e [tex3]Im(g)[/tex3] respectivamente.
▶ [tex3]\mathbb{R}[/tex3] representa o conjunto dos números reais.

Sobre as funções [tex3]f: \mathbb{R} – \{m\} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] e [tex3]g : \mathbb{R} – \{p\} \rightarrow \mathbb{R} – \{q\}[/tex3] é correto afirmar que

A) as duas funções são injetivas.
B) somente uma das funções é injetiva.
C) nenhuma das funções é bijetiva.
D) as duas funções são sobrejetivas.

Resposta

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gabarito alternativa correta e a A

[ProfLaplace]

A alternativa correta é a B.
Vamos explicar:

Primeiro vamos começar com a f, cujo domínio é [tex3]\mathbb{R}-\{0\}=\mathbb{R}^*.[/tex3]
Para mostrar que ela não é injetiva, basta que eu exiba dois x's diferentes que têm a mesma imagem.
A estrutura da função nos sugere tomar um número e também seu inverso.
Veja:
[tex3]f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.[/tex3]
[tex3]f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.[/tex3]
Isto prova que f não é injetiva.
Vejamos agora a sobrejetividade de f.
Uma forma bastante comum de provar que f não é sobrejetiva é usando a desigualdade MA-MG.
Mas vou tentar aqui fazer de uma maneira mais simples.
Vamos tomar [tex3]y=0,[/tex3] que é um valor que está no contra-domínio de f.
Será que existe algum x tal que [tex3]f(x)[/tex3] resulta em 0?
[tex3]f(x)=0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{x} \Rightarrow x^2=-1.[/tex3]
Mas o quadrado de um número real não pode resultar em -1, que é negativo.
Logo não existe x tal que [tex3]f(x)=0.[/tex3]
Isso prova que f não é sobrejetora.

Agora vamos para a g.
O domínio de g tem que ser [tex3]\mathbb{R}-\{2\}.[/tex3]
Temos também que adivinhar o contra-domínio.
Ele disse que o contra-domínio é do tipo [tex3]\mathbb{R}-\{p\}.[/tex3]
Ou seja, é todos os reais com exceção de um único número.
Normalmente usamos a função inversa para descobrir qual é esse único número fora do contra-domínio.
Mas vou tentar simplificar a linguagem um pouco aqui, mas de qualquer forma o que vou falar tem relação com função inversa.
Vamos supor que queremos obter um determinado x tal que [tex3]f(x)=a.[/tex3]
(a é algum número fixado antecipadamente)
Vamos prosseguir para tentar achar a em função de x.
[tex3]\frac{x-3}{x-2}=a \Rightarrow x-3=ax-2a \Rightarrow 2a-3=ax-x \Rightarrow 2a-3=x(a-1) \Rightarrow x=\frac{2a-3}{a-1}.[/tex3]
Porém, esse x só pode ser encontrado caso [tex3]a\neq1.[/tex3]
Ou seja, quando [tex3]a=1,[/tex3] não é possível encontrar [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]f(x)=1.[/tex3]
Logo é o número 1 que precisa estar fora do contra-domínio.
Dessa forma, o contra-domínio é [tex3]\mathbb{R}-\{1\}.[/tex3]
Vamos tentar provar que g é injetiva pela definição padrão de injetividade.
Sejam u e v no domínio de g de forma que [tex3]f(u)=f(v).[/tex3]
[tex3]\frac{u-3}{u-2}=\frac{v-3}{v-2} \Rightarrow uv-2u-3v+6=uv-2v-3u+6 \Rightarrow -2u-3v=-2v-3u\Rightarrow u=v.[/tex3]
Logo g é injetiva.
Falta ver a sobrejetividade de g.
A boa notícia é que a resposta já vai sair da análise que fizemos acima.
Lembra quando isolei x em função do nosso a pré-fixado?
Aquilo também nos mostra que, se [tex3]a\neq1,[/tex3] posso encontrar x tal que [tex3]f(x)=a.[/tex3]
Logo a imagem de g é [tex3]\mathbb{R}-\{1\},[/tex3] que coincide com seu contra-domínio, de forma que g é sobrejetiva!


Resumo de tudo:
f: não injetiva, não sobrejetiva, não bijetiva.
g: injetiva, sobrejetiva, bijetiva.

Alternativa B.

Obs: Optei por uma solução que não precisou de cálculo diferencial. Também é possível resolver com cálculo, se quiser.