Concursos Públicos ⇒ Exercicio de Geometia Plana Tópico resolvido

[SuperMatjin]

Um terreno na forma triangular, com vértices nos pontos A, B e C, tem as seguintes propriedades: o lado BC mede 40 metros, a distância do vértice A ao lado BC é de 30 metros e o lado AB faz um ângulo de 60º com o lado BC. Deseja-se construir nesse terreno uma quadra retangular, inscrita no triângulo ABC, cujo maior lado está sobre o lado BC e tenha área igual à metade da área do triângulo ABC. Considerando os dados apresentados, o perímetro, em metros, da quadra retangular será igual a:

a) 40
b) 60
c) 70
d) 90

Alguém pode resolver com passo a passo, pfv. Obrigada.

Resposta

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Gabarito C.

[SuperMatjin]

@SuperMatjin,

Sendo a base BC = 40 e a altura relativa a essa base h = 30: [tex3]Area_{ABC} = \frac{40 \times 30}{2} = 600 [/tex3]
Seja a quadra um retângulo inscrito com base x (sobre o lado BC) e altura y.
A área da quadra deve ser a metade da área do triângulo:[tex3]x \cdot y = \frac{600}{2} = 300 \implies x = \frac{300}{y}. [/tex3]
Ao inscrever um retângulo com base no lado BC, criamos um triângulo menor no topo que é semelhante ao triângulo ABC. [tex3]\frac{x}{BC} = \frac{h - y}{h}[/tex3]
Substituindo os valores conhecidos [tex3]\frac{x}{40} = \frac{30 - y}{30} \implies 30x = 40(30 - y)\\3x = 4(30 - y) \implies3x = 120 - 4y[/tex3].
[tex3]3\left(\frac{300}{y}\right) = 120 - 4y \implies \frac{900}{y} = 120 - 4y \implies900 = 120y - 4y^2\\4y^2 - 120y + 900 = 0 \implies y^2 - 30y + 225 = 0[/tex3]
Resolvendo y = 15 \text{ m} então [tex3]x = \frac{300}{15} = 20[/tex3].
[tex3]P = 2(20) + 2(15) = 40 + 30 = \boxed{70} [/tex3]