Cap. 2 - Segmentos de Recta ⇒ Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
25 - Em uma reta se consideram os pontos con­secutivos P, Q, R e S
os quais formam uma quaterna harmon1ca.
Se QR=[tex3]\frac{47}{RS}[/tex3] e PS = [tex3]\frac{96}{PQ}[/tex3], calcular PR

Resposta

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C) 7

[LostWalker]

Determinando a Reta

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[tex3]P\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_aQ\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_bR\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_cS[/tex3]


Logo, seguindo a definição de quartetos harmônicos:

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{a+b+c}{c}=k[/tex3]


E pelo enunciado temos:

[tex3]b=\frac{47}{c}\,\,\,\therefore\,\,\,bc=47\,\,\,\therefore\,\,\,bc=x[/tex3]

[tex3]a+b+c=\frac{96}{a}\,\,\,\therefore\,\,\,a(a+b+c)=96\,\,\,\therefore\,\,\,a(a+b+c)=y[/tex3]

*nota: estou estabelecendo esse [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] por futuras conveniências;


Definindo a Razão [tex3]k[/tex3]

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Sabemos da igualdade dos termos, mas vamos inicialmente multiplicá-los

[tex3]k^2=\frac{a}{b}\cdot\frac{a+b+c}{c}[/tex3]

[tex3]k^2=\frac{\color{PineGreen}a(a+b+c)}{\color{Purple}bc}[/tex3]

[tex3]k^2=\frac{\color{PineGreen}y}{\color{Purple}x}[/tex3]

[tex3]\color{Magenta}\boxed{k=\frac{\sqrt y}{\sqrt x}}[/tex3]




1º Parte

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Vamos trabalhar agora esse [tex3]k[/tex3] dos dois lados usando propriedade de fração:

[tex3]k=\frac{a}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac ab[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\sqrt y+\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{b}}[/tex3]




2º Parte

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Trabalhando agora do outro lado:

[tex3]k=\frac{a+b+c}{c}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac {a+b+c}c[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{c}}[/tex3]




Multiplicando os Valores Encontrados

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[tex3]\frac{\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt x}\cdot\frac{\sqrt y+\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{c}\cdot\frac{a+b}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{(\sqrt y-\sqrt x)(\sqrt y+\sqrt x)}{(\sqrt x)^2}=\frac{(a+b)^2}{bc}[/tex3]

[tex3]\frac{(\sqrt y)^2-(\sqrt x)^2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}=\frac{(a+b)^2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}[/tex3]


Restituindo os valores para finalizar a conta:

[tex3](a+b)^2=y-x[/tex3]

[tex3](a+b)^2=96-47[/tex3]

[tex3](a+b)^2=49[/tex3]

[tex3]a+b=7[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\overline{PR}=7}[/tex3]