Ensino Superior ⇒ Séries Infinitas Tópico resolvido

[Yuichi145]

Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, determine a soma.
[tex3]1-2/3+3+1/2-4/9-3/2+1/4-8/27+3/4[/tex3]




Gabarito

Resposta

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[tex3]\\limS_{3n}=2[/tex3]

Resposta

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[tex3]n->\infty[/tex3]

[undefinied3]

Reagrupando os termos:
[tex3]1-\frac{2}{3}+3+\frac{1}{2}-\frac{4}{9}-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}-\frac{8}{27}+\frac{3}{4}...=[/tex3]
[tex3]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...-\frac{2}{3}-\frac{4}{9}-\frac{8}{27}-...+3-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+...[/tex3]
Trata-se de uma soma de três séries. Veja que a primeira é a soma infinita de uma PG de termo inicial 1 e razão [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]. O resultado será [tex3]S_1=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/tex3]
A segunda série é uma soma (ou no caso, subtração, mas apenas irei calcular como soma e subtrair depois) de uma PG infinita de termo inicial [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e razão [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]. O resultado será [tex3]S_2=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2[/tex3]
A terceira série é a soma infinita de uma PG de termo inicial [tex3]3[/tex3] e razão [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3]. A soma será [tex3]S_3=\frac{3}{1+\frac{1}{2}}=2[/tex3]
Logo, queremos [tex3]S_1-S_2+S_3=2-2+2=2[/tex3]