Ensino Superior ⇒ Encontrar o volume do solido obtido Tópico resolvido

[Rose01]

[tex3]y=x²,x=y²[/tex3] em torno de [tex3]y=1[/tex3]

Resposta

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[tex3]\frac{11\pi }{30}[/tex3]

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[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]V=π\int\limits_{a}^{b}[(f_{1}(x)-k)^2-
(f_{2}(x)-k)^2]dx=[/tex3]

Onde;

{ k = 1 = y
{ [tex3]f_{1}(x)[/tex3] = x²
{ [tex3]f_{2}(x)[/tex3] = √x
{ a = 0 ( veja o gráfico! )
{ b = 1 ( veja o gráfico! )

Daí;


[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}[(x^2-1)^2-
(\sqrt{x}-1)^2]dx=[/tex3]

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}[x^4-2x^2+1-(x-2\sqrt{x}+1)]dx=[/tex3]

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}(x^4-2x^2+1-x+2\sqrt{x}-1)dx=[/tex3]

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}(x^4-2x^2-x+2\sqrt{x})dx=[/tex3]

[tex3]V=π.[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{4\sqrt{x^3}}{3}]_{0}^{1}=[/tex3]

[tex3]V=π.[\frac{1^5}{5}-\frac{2.1^3}{3}-\frac{1^2}{2}+\frac{4\sqrt{1^3}}{3}-( \frac{0^5}{5}-\frac{2.0^3}{3}-\frac{0^2}{2}+\frac{4\sqrt{0^3}}{3})]=[/tex3]

[tex3]V=π.(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{4}{3})=\pi .\frac{6+20-15}{30}=\frac{11π}{30}[/tex3] u.v.


Portanto, o volume do sólido vale [tex3]\frac{11π}{30}[/tex3] u.v.



Bons estudos!