Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - auto-valor Tópico resolvido

[LucasBlade]

Ache os auto-vetores da aplicação linear definida como F(x,y,z,w) = (x,y,-3z,2w), para auto-valor c>1.

Resolvi mas NÃO TENHO CERTEZA SE ESTÁ CORRETA. Alguém pode me ajudar??

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}[/tex3] = [tex3]\begin{pmatrix}
1-λ & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1-λ & 0 & 0 \\
0 & 0 & -3-λ & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2-λ \\
\end{pmatrix}[/tex3] = (1-λ)^2(-3-λ)(2-λ)

Resolvendo 1-λ=0
1-λ-1=0-1 [tex3]\rightarrow [/tex3] -λ=-1 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\left(\frac{-λ}{-1}\right) = \left(\frac{-1}{-1}\right)[/tex3] = λ=1

Resolvendo -3-λ=0
-3-λ+3=0+3 [tex3]\rightarrow [/tex3] -λ=3 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\left(\frac{-λ}{-1}\right) = \left(\frac{3}{-1}\right)[/tex3] = λ=-3

Resolvendo 2-λ=0
2-λ-2=0-2 [tex3]\rightarrow [/tex3] -λ=-2 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\left(\frac{-λ}{-1}\right)[/tex3]]=[tex3]\left(\frac{-2}{-1}\right)[/tex3] = λ=2

Então, encontramos três autovalores: λ' = 1 , λ'' = -3 e λ'''=2

Quando λ = 2, temos que:
[tex3]\begin{cases}
x(2-1)=0 \\
y(2-1)=0 \\
z(-3-2)=0 \\
w(2-2)=0
\end{cases} = \begin{cases}
1x=0 \\
1y=0 \\
-5z=0 \\
0w=0
\end{cases}[/tex3]

ou seja, os autovetores são da forma (0,0,0,0).

[erihh3]

Você deveria ter encontrado os autovetores referentes aos autovalores -3 e 1 também.
A resposta está certa porque todos os autovalores serão iguais ao vetor nulo mesmo.