Ensino Superior ⇒ Plano Tangente e Reta Normal Tópico resolvido

[thetruth]

determinar a equação do plano tangente e reta normal de

[tex3]f(x,y)x^{2}y+xy^2[/tex3]

no ponto(2,1)

[deOliveira]

[tex3]f(x,y)=x^2y+xy^2\rightarrow f(2,1)=2^2\cdot 1+2\cdot 1^2=6[/tex3]
Então temos o ponto [tex3](2,1,6)[/tex3] que é um ponto do plano.
Vamos calcular as derivadas parciais de [tex3]f[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+y^2 \rightarrow\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=2\cdot 2\cdot 1+1^2=5[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2+2xy\rightarrow \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=2^2+2\cdot 2\cdot1=8[/tex3]
Então temos que o vetor normal ao plano é [tex3](5,8-1)[/tex3]
Então a equação do plano será [tex3]5x+8y-z+d=0[/tex3]. Sabemos que [tex3](2,1,6)[/tex3] pertence ao plano, então vamos substituir tais valores na equação para encontrar o valor de [tex3]d[/tex3]
[tex3]5\cdot2+8\cdot1-1\cdot6+d=0\rightarrow 10+8-6+d=0\rightarrow d=-12[/tex3]
Então a equação do plano é [tex3]5x+8y-z-12=0[/tex3]
Agora a equação da reta normal será [tex3](x,y,z)=(2,1,6)+t(5,8,-1)[/tex3] com [tex3]t\in \mathbb{R}[/tex3]

[thetruth]

[tex3](5,8-1)[/tex3]

esse -1 aí, de onde veio?

[deOliveira]

Seja [tex3]ax+by+cz+d=0[/tex3] a equação geral de um plano, sabemos então que o vetor [tex3](a,b,c)[/tex3] é o vetor normal ao plano.
Agora, seja [tex3]f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] diferenciável e [tex3](x_0,y_o)\in \mathbb{R}[/tex3]. Por definição o plano tangente ao gráfico de [tex3]f[/tex3] no ponto [tex3](x_0,y_o)[/tex3] é o plano dado por:
[tex3]z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot (x-x_o)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot (y-y_o)[/tex3] Então temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot y -z+\left[f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot x_0-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot y_0\right]=0[/tex3]
Então o vetor normal ao plano será [tex3]\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)[/tex3]
E esse é um resultado geral você pode sempre nesse tipo de exercício usar que o vetor normal ao plano será [tex3]\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)[/tex3]