Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[Stich]

Calcule [tex3]\iiint_K x\sqrt{x^2+y^2+z^2}dV [/tex3] em que [tex3]k=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3})|x\geq0,y\geq0,z\geq0\,\, e\,\, x^2+y^2+z^2\leq1 \}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 → z ≤ √( 1 - x² - y² ) , ou seja , a partir daqui já podemos concluir que o sólido está localizado no primeiro octante , logo os limites de integração em coordenadas esféricas são :

0 ≤ [tex3]\theta [/tex3] ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] , 0 ≤ [tex3]\phi [/tex3] ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] e 0 ≤ [tex3]\rho [/tex3] ≤ 1.

Isso seria um resumo de parte da solução, porém vou resolver mais detalhadamente.

Denotando a integral iterada por [tex3]I[/tex3] , temos,

[tex3]I = \int\limits_{}^{}\int\limits_{K}^{}\int\limits_{}^{}x\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ dV[/tex3]

Onde

[tex3]K = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3| {\underbrace{x ≥ 0 , y ≥ 0}_{\text{D}}} \ , \ z ≥ 0 \ e \ x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 \}[/tex3]

Ou

[tex3]K = \{ ( x , y , z ) \in \mathbb{R}^3 ; ( x , y ) \in
D \ e \ 0 ≤ z ≤ \sqrt{1 - x^2 - y^2 } \} [/tex3]

Onde

[tex3]D :\begin{cases}
0 ≤ x ≤ 1 \\
0 ≤ y ≤ \sqrt{1 - x^2}
\end{cases} é \ a \ projeção \ de \ K \ no \ plano \ xy.[/tex3]

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De 0 ≤ z ≤ √( 1 - x² - y² ) concluímos que o sólido K é limitado superiormente pela superfície z = √( 1 - x² - y² ) ou x² + y² + z² = 1 , com z ≥ 0 , que é a semiesfera superior de raio 1 e centro ( 0 , 0 , 0 ) , e é limitado inferiormente pelo plano xy de equação z = 0. Considerando que a projeção de K no plano xy é a região D, temos :

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Passando para coordenadas esféricas, temos :

[tex3]\begin{cases}
x = \rho .sen (\phi ).cos (\theta ) \\
y = \rho .sen (\phi ).sen (\theta ) \\
z = \rho .cos (\phi )\\
dx dydz = dV = \rho ^2.sen(\phi )d\rho d\phi d\theta \\
x^2 + y^2 + z^2 = \rho ^2
\end{cases}[/tex3]

Como a projeção de K no plano xy é o conjunto D, vemos que [tex3]\theta [/tex3] varia de 0 a [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] : 0 ≤ [tex3]\theta [/tex3] ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]. Efetuando uma “varredura” em K , a partir do eixo Z positivo vemos que [tex3]\phi [/tex3] varia de 0 ( no eixo Z positivo ) até [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]( no plano xy ) : 0 ≤ [tex3]\phi [/tex3] ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]. Considerando um ponto P no interior de K e a semireta OP , vemos que ela entra em K na origem onde [tex3]\rho [/tex3] = 0 e sai de K em um ponto da esfera x² + y² + z² = 1 onde [tex3]\rho [/tex3] = 1. Logo , 0 ≤ [tex3]\rho [/tex3] ≤ 1.

Assim, K transforma-se em :

[tex3]K_{\rho \phi \theta }\begin{cases}
0 ≤ \theta ≤ \frac{π}{2} \\
0 ≤ \phi ≤ \frac{π}{2} \\
0 ≤ \rho ≤ 1
\end{cases}[/tex3]


Como o integrando x√( x² + y² + z² ) transforma-se em
[tex3]\rho .sen (\phi ).cos (\theta ).\sqrt{\rho^2 } =
\rho^2 .sen (\phi ).cos (\theta )[/tex3] , então:

[tex3]I = \int\limits_{}^{}\int\limits_{ K_{\rho \phi \theta } }^{}\int\limits_{}^{} \rho^2 .sen (\phi ).cos (\theta ). \rho ^2.sen(\phi ) \ d\rho d\phi d\theta[/tex3]

[tex3]I = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos (\theta ) \ d\theta .\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}sen^2(\phi ) \ d\phi .\int\limits_{0}^{1}\rho ^4 \ d\rho [/tex3]

Obs.
[tex3]sen^2(\phi ) = \frac{1 - cos (2\phi )}{2} → \int\limits_{}^{}\frac{1-cos(2\phi )}{2}d\phi =
\frac{\phi }{2} - \frac{sen (2\phi )}{4} \ ou \
\frac{\phi }{2} \ - \ \frac{cos (\phi ).sen (\phi )}{2}
[/tex3]
.

[tex3]I = [ sen(\theta )]_{0}^{\frac{π}{2}} .\left[
\frac{\phi }{2} \ - \ \frac{cos (\phi ).sen (\phi )}{2}\right]_{0}^{\frac{π}{2}}.[\frac{\rho^5 }{5} ]_{0}^{1} [/tex3]

[tex3]I = 1.\frac{π}{4}.\frac{1}{5} = \frac{π}{20}[/tex3]

Portanto,

[tex3]I = \int\limits_{}^{}\int\limits_{K}^{}\int\limits_{}^{}x\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ dV = \frac{π}{20}[/tex3].


Excelente estudo!