Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - Combinação Linear Tópico resolvido

[Nekololikuro]

3.3.8. Considere dois vetores V e W tais que [tex3]||V||=5[/tex3] e [tex3]||W||=2[/tex3] e o ângulo entre [tex3]V[/tex3] e [tex3]W [/tex3] é 60º. Determine, como combinação linear de [tex3]V [/tex3] e [tex3]W [/tex3]([tex3]X=xV+yW[/tex3]):

b) Um vetor [tex3]X [/tex3] tal que [tex3]X \times W=\overline{0}[/tex3] e [tex3]X\cdot W=12[/tex3]

Dúvida: Consegui desenvolver até chegar no sistema abaixo, mas não sei como resolvê-lo:
[tex3]\begin{cases}
y(W\times V)=\overline{0} \\
5x+4y=12
\end{cases}[/tex3]

Desde já, agradeço.

Resposta

---

[tex3]X=\frac{12}{5}V[/tex3]

[Cardoso1979]

b) Um vetor [tex3]X [/tex3] tal que [tex3]X \times W=\overline{0}[/tex3] e [tex3]X\cdot W=12[/tex3]

É W mesmo??

[petrasMOD]

Cardoso1979,

Enunciado transcrito errado...seria XV = 0 e XW = 12

[Cardoso1979]

Cardoso1979,

Enunciado transcrito errado...seria XV = 0 e XW = 12

Ok então petras

De fato é isso mesmo, o que confirma isso é que ele chegou no sistema apresentado por ele acima e ainda tem o gabarito que corrobora também.

Uma solução:

Para quem não compreendeu como ele(Nekololikuro ) chegou ao sistema apresentado por ele , vou tentar explicar aqui, observe

X × V = [tex3]\overline{0}[/tex3] → ( xV + yW ) × V = [tex3]\overline{0}[/tex3] → yW × V = [tex3]\overline{0}[/tex3] ( I )

Obs.1 V × V = 0

Obs.2 W × V significa produto vetorial entre os dois vetores. Vale também para X × V.

Por outro lado,

X.W = 12 → ( xV + yW ).W = 12 → xV.W + y|| W ||^2 = 12 → x( 5 ) + y( 2 )^2 = 12 → 5x + 4y = 12 ( I I ).

Obs.3 X.W ou V.W significa produto escalar ou produto interno entre dois vetores.

Obs.4

V.W = || V ||.|| W ||.cos (θ)

V.W = 5.2.cos( 60° ) = 5.2.( 1/2 )

V.W = 5




De ( I ) e ( I I ) , temos o seguinte sistema

{ y( W × V ) = [tex3]\overline{0}[/tex3] ( I )
{ 5x + 4y = 12 ( I I )

De ( I ) , conclui-se que y = 0 , pois W × V ≠ 0 ( já que sen (60°) ≠ 0 , o próprio enunciado já responde essa dúvida ).

Obs.5

Dentro de um dos teoremas , temos a seguinte propriedade:

V × W = [tex3]\overline{0}[/tex3] se , e somente se, um deles é o vetor nulo ou sen (θ) = 0 , em que θ é o ângulo entre V e W , ou seja , V e W são paralelos. Assim, V × W = [tex3]\overline{0}[/tex3] se , e somente se, V = αW ou W = αV. ( o que NÃO ocorre com o caso em questão! )



Obs.6

| V × W | = || V ||.|| W ||.sen (θ) = 5.2.sen( 60° ) = 5√3.



Substituindo y = 0 em ( I I ) , obtemos : x = 12/5.

Assim,

X = [tex3]\frac{12}{5}[/tex3] V.


Obs.7

Se fosse

{ X × W = [tex3]\overline{0}[/tex3]
{ X.W = 12

Os valores de x e y são respectivamente 0 e 3.

E a resposta seria X = 0.V + 3W → X = 3W.




Excelente estudo!

[Nekololikuro]

b) Um vetor [tex3]X [/tex3] tal que [tex3]X \times W=\overline{0}[/tex3] e [tex3]X\cdot W=12[/tex3]

É W mesmo??

Perdão Cardoso, eu acabei digitanto errado era isso mesmo que o Petras falou. Obrigado pela ajuda!

[Cardoso1979]

Perdão Cardoso, eu acabei digitanto errado era isso mesmo que o Petras falou. Obrigado pela ajuda!

Tudo bem. Disponha