Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Retas e Planos Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Decomponha o vetor [tex3]\vec{u} \, = \, \left(1,2,4\right)[/tex3] como a soma de um vetor paralelo à reta [tex3]r : X = \left(1,9,18\right) \, + \, \lambda \left(2,1,0\right)[/tex3] com outro paralelo ao plano [tex3]\pi: \begin{cases} x \, = \, 1 \, + \, \lambda \\ y \, = \, 1 \, + \, \mu \\ z \,= \, \lambda \, - \, \mu \end{cases} \,\,\, \lambda , \mu \,\, \in \, \mathbb{R}[/tex3].

Grande abraço!

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Para que um vetor [tex3]\vec{v}[/tex3] seja paralelo à reta r, ele tem que ser múltiplo do seu vetor diretor, ou seja;
[tex3]\overline{v}[/tex3] = a.( 2 , 1 , 0 ).

Por outro lado, os vetores diretores do plano π são:

[tex3]\vec{w}[/tex3] = ( 1 , 0 , 1 ) e [tex3]\vec{m}[/tex3] = ( 0 , 1 , - 1 ).

Vamos então determinar o vetor normal desse plano efetuando o produto vetorial dos seus vetores diretores, temos:

[tex3]\overline{n} = \vec{w} \ \wedge \ \vec{m} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1
\end{array} \right| = - \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}[/tex3]

[tex3]\vec{n}[/tex3] = ( - 1 , 1 , 1 ).

Lembrando que, para um vetor [tex3]\vec{t}[/tex3] = ( x , y , z ) ser paralelo ao plano, ele deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Então,

[tex3]\vec{t}.\vec{n}[/tex3] = 0

( x , y , z ).( - 1 , 1 , 1 ) = 0

- x + y + z = 0

x = y + z.

Logo, o vetor [tex3]\vec{p}[/tex3] , paralelo ao plano , terá o seguinte formato ( y + z , y , z ).

Assim, decompomos o vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] , como sendo a seguinte soma

[tex3]\vec{u}[/tex3] = a.( 2 , 1 , 0 ) + ( y + z , y , z )

( 1 , 2 , 4 ) = ( 2a + y + z , a + y , z )

Igualando as coordenadas, obtemos o seguinte sistema:

{ 2a + y + z = 1
{ a + y = 2
{ z = 4

Donde encontramos, a = - 5 , y = 7 e z = 4. Daí,

[tex3]\vec{v}[/tex3] = - 5.( 2 , 1 , 0 ) = ( - 10 , - 5 , 0 ) e

[tex3]\vec{p}[/tex3] = ( y + z , y , z ) = ( 11 , 7 , 4 ).

Portanto,

[tex3]\vec{u}[/tex3] = ( 1 , 2 , 4 ) = ( - 10 , - 5 , 0 ) + ( 11 , 7 , 4 ).


Excelente estudo!