Ensino Superior ⇒ Geometria Analitica Conicas Tópico resolvido

[duduxo]

Determine a equação cartesiana da hipérbole com as seguintes características: tem
centro no ponto C = (h, h), possui uma assíntota de equação y = 3x−4, passa pelo ponto P = (−2, 2)
e seus focos estão sobre uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo-x).

[petrasMOD]

@duduxo,
Os focos estão sobre uma reta paralela ao eixo x. Isso significa que a hipérbole tem eixo real horizontal.
Como o centro está sobre a assíntota, suas coordenadas devem satisfazer a equação [tex3]y = 3x - 4 \implies h = 3h - 4 \implies 2h = 4 \implies h = 2 \therefore C = (2, 2)[/tex3].
A equação de uma hipérbole horizontal com centro [tex3](x_0, y_0):\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 \implies \frac{(x-2)^2}{a^2} - \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1[/tex3]
Para uma hipérbole horizontal, as inclinações das assíntotas são dadas por [tex3]\pm \frac{b}{a}[/tex3]. Como a equação da assíntota fornecida é y = 3x - 4, a inclinação é [tex3] 3.\frac{b}{a} = 3 \implies b = 3a \implies b^2 = 9a^2[/tex3].
O ponto P pertence à hipérbole.[tex3] \frac{(-2-2)^2}{a^2} - \frac{(2-2)^2}{b^2} = 1\\\frac{(-4)^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1\\\frac{16}{a^2} - 0 = 1 \implies a^2 = 16[/tex3]
[tex3]b^2 = 9a^2: b^2 = 9 \cdot 16 = 144[/tex3]
Substituindo os valores na equação:$[tex3] \boxed{\frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y-2)^2}{144} = 1}[/tex3]