Ensino Superior ⇒ Circunferência Tangente à Elipse Tópico resolvido

[sawdreas]

Sabe-se que uma elipse de equação [tex3]\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1[/tex3] tangencia internamente a circunferência de equação [tex3]x^{2} + y^{2}= 5[/tex3] e que a reta de equação [tex3]3 x+ 2y = 6[/tex3] é tangente à elipse no ponto [tex3]P[/tex3]. Determine as coordenadas de [tex3]P[/tex3].

[sawdreas]

@sawdreas,
Como a elipse tangencia internamente a circunferência, os seus vértices mais afastados devem tocar a borda do círculo. Isso implica que o semieixo maior da elipse deve ser igual ao raio da circunferência.Temos dois casos possíveis:
Caso A: [tex3] a = \sqrt{5}[/tex3] (eixo maior horizontal).
Caso B: [tex3] b = \sqrt{5}[/tex3] (eixo maior vertical)
[tex3] 3x + 2y = 6 \implies 2y = -3x + 6 \implies y = -\frac{3}{2}x + 3[/tex3]
m = -3/2 e n = 3.
A condição para que uma reta y = mx + n seja tangente a uma elipse[tex3] \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/tex3] é dada pela fórmula: [tex3]n^2 = a^2m^2 + b^2[/tex3]
Substituindo os valores da reta: [tex3]3^2 = a^2 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + b^2 \implies 9 = \frac{9a^2}{4} + b^2 \implies 36 = 9a^2 + 4b^2[/tex3].
Vamos testar os casos do item 1 na equação [tex3]36 = 9a^2 + 4b^2:\\
a^2 = 5\\ (\text{Caso A}):36 = 9(5) + 4b^2 \implies 36 = 45 + 4b^2 \implies 4b^2 = -9[/tex3].
Isso é impossível, pois [tex3]b^2[/tex3] deve ser positivo.
Se [tex3]b^2 = 5\\(\text{Caso B}):36 = 9a^2 + 4(5) \implies 36 = 9a^2 + 20 \implies\\ 16 = 9a^2 \implies \mathbf{a^2 = \frac{16}{9}} < 5 \checkmark[/tex3]
A equação da elipse é [tex3]\frac{x^2}{16/9} + \frac{y^2}{5} = 1[/tex3]
Ponto de Tangência P([tex3]x_0, y_0[/tex3])
A equação da reta tangente à elipse no ponto [tex3](x_0, y_0) é:\\
\frac{x \cdot x_0}{a^2} + \frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1\\
\text{Substituindo}: a^2 = \frac{16}{9} ; b^2 = 5:\frac{9x_0}{16}x + \frac{y_0}{5}y = 1[/tex3]
[tex3]3x + 2y = 6 \implies \frac{3}{6}x + \frac{2}{6}y = \frac{6}{6} \implies \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1[/tex3]
Comparando os coeficientes das duas equações: [tex3]Para ~x: \frac{9x_0}{16} = \frac{1}{2} \implies 18x_0 = 16 \implies \mathbf{x_0 = \frac{8}{9}}\\
Para ~y: \frac{y_0}{5} = \frac{1}{3} \implies 3y_0 = 5 \implies \mathbf{y_0 = \frac{5}{3}}[/tex3]
As coordenadas do ponto P são [tex3]\boxed{(\frac{8}{9}, \frac{5}{3})}[/tex3]