Ensino Superior ⇒ Área das Curvas Tópico resolvido

[Isabella]

Olá amiguinhos...

A área do interior de ambas as curvas :

[tex3]r=a \cos \theta \ e\ r=a(1-\cos \theta )[/tex3]

é [tex3]a^2\(\frac{7\pi }{12}+3\)[/tex3]


[tex3]( \ \ )\ VERDADEIRO[/tex3]

[tex3](\ \ )\ FALSO[/tex3]



Bjinhosssss..

[theblackmamba]

Olá Isabella,

Vou fazer um esboço no GeoGebra para [tex3]a>0[/tex3]. Se [tex3]a<0[/tex3] as curvas seriam simétricas em relação aos eixos.

Figura sem escala

polar.png (29.47 KiB) Exibido 580 vezes

Sabemos que a área de uma curva de equação [tex3]r=r(\theta)[/tex3] para [tex3]\alpha \leq \theta \leq \beta[/tex3], onde [tex3]\beta-\alpha \leq 2\pi[/tex3] é dada por:

[tex3]\boxed{A=\frac{1}{2}\cdot \int_{\alpha}^{\beta}(r(\theta))^2 d\theta}[/tex3]

Primeiramente igualamos as equações para encontrar os pontos de intersecção:
[tex3]a\cos \theta=a(1-\cos \theta)[/tex3]
[tex3]\cos \theta=\frac{1}{2}\,\,\Rightarrow\,\,\theta=\frac{\pi}{3}\,\,\text{ou}\,\,\frac{5\pi}{3}[/tex3]

A área em questão vale:

[tex3]A=2\cdot \frac{a^2}{2}\cdot \left(\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos^2 \theta d\theta+\int_{0}^{\pi/3}(1+\cos^2 \theta - 2\cos \theta) d\theta\right)[/tex3]
[tex3]A=a^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{\pi/3}^{\pi/2}+[\theta]_{0}^{\pi/3}-2\cdot \left[\sin \theta\right]_{0}^{\pi/3}+\frac{1}{2}\cdot \left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi/3}\right)[/tex3]
[tex3]A=a^2 \cdot \left[\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}\cdot \left(\sin \pi - \sin \frac{2\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}-2\sin \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+ \frac{1}{4}\sin \frac{2\pi}{3}\right][/tex3]
[tex3]A=a^2 \cdot \left(\frac{\pi}{12}-\cancel{\frac{\sqrt{3}}{8}}+\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}+\cancel{\frac{\sqrt{3}}{8}}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{A=a^2 \cdot \left(\frac{7\pi}{12}-\sqrt{3}\right)}}[/tex3]

Segundo meus cálculos a afirmação é falsa mas também é muito provável que eu tenha cometido algum engano aí no meio. Por isso peço que verifiquem minha solução.

PS.: [tex3]\int \cos^2 x \,dx=\int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \cos (2x)\right)dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sin x \cdot \cos x=\frac{1}{2}\cdot \left(x+\frac{\sin (2x)}{2}\right)[/tex3]

Abraços.