Ensino Superior ⇒ Isometria Tópico resolvido

[poti]

Sejam [tex3]T[/tex3] uma isometria e [tex3]A[/tex3] um ponto tais que [tex3]T(A) \neq A[/tex3] e [tex3]T(T(A)) = A[/tex3]. Prove que [tex3]T[/tex3] é uma reflexão em torno de uma reta ou é uma rotação.

[cassiohvm]

Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]A[/tex3] e [tex3]T(A)[/tex3]. Esse ponto é fixo pela isometria:

[tex3]d(A,M) = d(M, T(A)) \Rightarrow d(T(A), T(M)) = d(T(M), T(T(A))) = d(T(M),A)[/tex3]

Dessa forma, [tex3]T(M)[/tex3] é equidistante de [tex3]A[/tex3] e [tex3]T(A)[/tex3]. Como [tex3]d(A,M) = d(T(A),T(M))[/tex3], segue que [tex3]T(M)[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AT(A)[/tex3]. Daí, [tex3]T(M) = M[/tex3].

Assim, dado um ponto [tex3]X[/tex3], existem duas possibilidades para [tex3]T(X)[/tex3]. Em uma temos uma reflexão, e na outra a rotação de 180 graus em torno de [tex3]M[/tex3]